在計算幾何中，判定點是否在多邊形內，是個非常有趣的問題。通常有兩種方法：
1.Crossing Number（交叉數）
它計算從點P開始的射線穿過多邊形邊界的次數。當“交叉數”是偶數時，點在外面;當它是奇數時，點在裏面。這種方法有時被稱爲“奇-偶”檢驗。
2.Winding Number（環繞數）
它計算多邊形繞着點P旋轉的次數。只有當“圈數”wn = 0時，點纔在外面; 否則，點在裏面。
如果一個多邊形是不自交的（稱爲“簡單多邊形”），那麼這兩種方法對任意點都給出相同的結果。但對於非簡單多邊形，這兩種方法在某些情況下會給出不同的答案。如下圖所示，當一個多邊形與自身重疊時，對於重疊區域內的點，如果使用交叉數判斷，它在外面；而使用環繞數判斷則在裏面。
頂點按次序編號: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
在上圖中，綠色區域中的點，wn = 2，表示在多邊形中重疊了2次。相比於Crossing number，winding number給出了更內蘊性的答案。
儘管如此，早些時候，crossing number方法應用的更廣泛，因爲最初計算幾何專家們錯誤地認爲crossing number比winding number計算起來更加高效。但事實並非如此，兩者的時間複雜度完全一樣。Franklin在2000年給出一個計算winding number的非常快的實現。因此，爲了幾何正確性和效率的原因，在確定一個多邊形中的一個點時，wn算法應該總是首選的。
The Crossing Number
該方法計算從點P開始的射線穿過多邊形邊界的次數（不管穿過的方向）。如果這個數是偶數，那麼點在外面;否則，當交叉數爲奇數時，點在多邊形內。其正確性很容易理解，因爲每次射線穿過多邊形邊緣時，它的內外奇偶性都會發生變化(因爲邊界總是分隔內外)。最終，任何射線都在邊界多邊形之外結束。所以，如果點在多邊形內，那麼對邊界的穿過次序一定是：out>...>in>out,因此交叉數一定是奇數；同樣地，如果點在多邊形外，那麼對邊界的穿過次序一定是in > out ... > in > out,因此交叉數必是偶數。
在實現crossing number的算法時，必須確保只計算改變奇偶性的交叉位置。特別是，對於射線穿過頂點的情況需要適當的處理。下圖列舉了射線與多邊形可能的相交情況：
射線與多邊形的邊可能的相交情況
此外，必須確定多邊形邊界上的點P是在內部還是外部。一般約定：如果點在邊的左側，那麼認爲點P在內部；如果點在邊的右側，那麼認爲點P在外部。如果兩個不同的多邊形共享一個共同的邊界線段，那麼該線段上的一點將會在一個多邊形或另一個多邊形中，而不是同時在兩個多邊形中。這避免了許多可能發生的問題，特別是在計算機圖形顯示中。
一個簡單的做法是選擇一條x軸正方向的水平射線，對於這樣一條射線，很容易計算多邊形的邊與它的交點。而且，很容易確定交點是否存在。算法只需沿着多邊形的每一條邊，依次計算交點，當相交時，cn增加1，從而計算出最終的總交叉數。
此外，相交測試必須遵循如下的規則，處理一些特殊情況（如上圖）：
- 向上的邊，包含起點，但不包含終點；
- 向下的邊，包含終點，但不包含起點；
- 水平的邊，不包含起點和終點；
- 邊與射線的交點必須嚴格在點P的右側
按照上述規則，處理特殊的相交情況，就能得到正確的交叉數。其中，規則#4將導致在邊界右側的點在多邊形外部，在左側的點將會被判定爲在內部。
Crossing Number Pseudo-Code：
對於n個點組成的多邊形V={V[0], V[1], ......,V[n]},其中V[n]=V[0], 計算幾何大牛Franklin給出了一個非常有名的實現：
typedef struct {int x, y;} Point;
cn_PnPoly( Point P, Point V[], int n )
{
int cn = 0; // the crossing number counter
// loop through all edges of the polygon
for (each edge E[i]:V[i]V[i+1] of the polygon) {
if (E[i] crosses upward ala Rule #1
|| E[i] crosses downward ala Rule #2) {
if (P.x < x_intersect of E[i] with y=P.y) // Rule #4
++cn; // a valid crossing to the right of P.x
}
}
return (cn&1); // 0 if even (out), and 1 if odd (in)
}
注意，對於滿足規則#1和#2的向上和向下交叉的測試也排除了水平邊緣(規則#3)。總而言之，很多工作是通過幾個測試完成的，這使得這個算法很優雅。
然而，交叉數方法的有效性是基於“約當曲線定理”（Jordan Curve Theorem），該定理表明，一條簡單的閉合曲線將二維平面分成兩個完全連通的分量:一個有界的“內”分量和一個無界的“外”分量。需要注意的是，曲線必須是簡單的(沒有自身交叉)，否則可能有兩個以上的組成部分，然後就不能保證跨越邊界改變進出奇偶性。因此，該方法不適用於自相交的多邊形。
The Winding Number
另一方面，winding number方法能準確判定一個點是否在自交的封閉曲線內。該方法通過計算多邊形有多少次環繞點P來實現。只有當多邊形不環繞該點，也就是環繞數wn = 0時，一個點纔在外面。
不妨定義：平面上的點P相對於任意連續封閉曲線的環繞數爲
此外，我們沒必要計算實際的交點，只需要使用如下方法判斷當前穿過的邊的環繞數應該+1還是-1：
如下圖所示，如果一條邊向上穿過射線R，那麼P點在邊ViVi+1的左側；而對於一條向下的邊，P點在邊ViVi+1的右側。
Winding Number Pseudo-Code：
通過以上分析，容易給出如下的wn計算僞代碼（和cn的計算一樣使用相同的邊相交規則）：
typedef struct {int x, y;} Point;
wn_PnPoly( Point P, Point V[], int n )
{
int wn = 0; // the winding number counter
// loop through all edges of the polygon
for (each edge E[i]:V[i]V[i+1] of the polygon) {
if (E[i] crosses upward ala Rule #1) {
if (P is strictly left of E[i]) // Rule #4
++wn; // a valid up intersect right of P.x
}
else
if (E[i] crosses downward ala Rule #2) {
if (P is strictly right of E[i]) // Rule #4
--wn; // a valid down intersect right of P.x
}
}
return wn; // =0 <=> P is outside the polygon
}
顯然，環繞數方法與交叉數方法有着相同的計算效率。但由於該方法更加具有普遍性，因此，在確定一個點是否在任意多邊形內時，推薦使用Winding Number方法。
通過一些技巧可以進一步提高wn算法的效率，在下面給出的wn_PnPoly() 的實現中，我們可以看到這一點。在該代碼中，所有完全在P以上或完全在P以下的邊只經過兩次不等式檢驗就被拒絕（沒有交點）。然而，在目前流行的cn算法的實現中，需要3次不等式檢驗才能做到這一點。由於在實際應用中，大多數邊都會被拒絕，因此進行比較的次數減少了大約33%(或更多)。在使用非常大的(1,000,000邊)隨機多邊形(邊長<多邊形直徑的1/10)和1000個隨機測試點(在多邊形的邊界內)進行運行時測試時，測試結果表明wn算法的平均效率提高了20%。
Winding Number算法的實現
// isLeft(): tests if a point is Left|On|Right of an infinite line.
// Input: three points P0, P1, and P2
// Return: >0 for P2 left of the line through P0 and P1
// =0 for P2 on the line
// <0 for P2 right of the line
inline int
isLeft( Point P0, Point P1, Point P2 )
{
return ( (P1.x - P0.x) * (P2.y - P0.y)
- (P2.x - P0.x) * (P1.y - P0.y) );
}
//===================================================================
// cn_PnPoly(): crossing number test for a point in a polygon
// Input: P = a point,
// V[] = vertex points of a polygon V[n+1] with V[n]=V[0]
// Return: 0 = outside, 1 = inside
// This code is patterned after [Franklin, 2000]
int
cn_PnPoly( Point P, Point* V, int n )
{
int cn = 0; // the crossing number counter
// loop through all edges of the polygon
for (int i=0; i<n; i++) { // edge from V[i] to V[i+1]
if (((V[i].y <= P.y) && (V[i+1].y > P.y)) // an upward crossing
|| ((V[i].y > P.y) && (V[i+1].y <= P.y))) { // a downward crossing
// compute the actual edge-ray intersect x-coordinate
float vt = (float)(P.y - V[i].y) / (V[i+1].y - V[i].y);
if (P.x < V[i].x + vt * (V[i+1].x - V[i].x)) // P.x < intersect
++cn; // a valid crossing of y=P.y right of P.x
}
}
return (cn&1); // 0 if even (out), and 1 if odd (in)
}
//===================================================================
// wn_PnPoly(): winding number test for a point in a polygon
// Input: P = a point,
// V[] = vertex points of a polygon V[n+1] with V[n]=V[0]
// Return: wn = the winding number (=0 only when P is outside)
int
wn_PnPoly( Point P, Point* V, int n )
{
int wn = 0; // the winding number counter
// loop through all edges of the polygon
for (int i=0; i<n; i++) { // edge from V[i] to V[i+1]
if (V[i].y <= P.y) { // start y <= P.y
if (V[i+1].y > P.y) // an upward crossing
if (isLeft( V[i], V[i+1], P) > 0) // P left of edge
++wn; // have a valid up intersect
}
else { // start y > P.y (no test needed)
if (V[i+1].y <= P.y) // a downward crossing
if (isLeft( V[i], V[i+1], P) < 0) // P right of edge
--wn; // have a valid down intersect
}
}
return wn;
}
//===================================================================
References
Wm. Randolph Franklin, "PNPOLY - Point Inclusion in Polygon Test" Web Page (2000)
Tomas Moller & Eric Haines, "Ray/Polygon Intersection" in Real-Time Rendering (3rd Edition) (2008)
Joseph O'Rourke, "Point in Polygon" in Computational Geometry in C (2nd Edition) (1998)