慣性組合導航原理—[1] 方向餘弦矩陣

關於旋轉矩陣和四元數的推導總是記不清楚，現在新開一個慣導系列的博客，記錄最近對慣性導航方面的複習過程。

• 本文重點：方向餘弦矩陣推導，爲什麼繞Y軸和其他兩軸的DCM不同？
• 1.1 過渡矩陣
• 1.2 旋轉矩陣的表示關係

一、旋轉矩陣（方向餘弦矩陣）

要搞清楚什麼是旋轉矩陣，就要先明白什麼是過渡矩陣。

1.1 過渡矩陣

假設載體座標系（b系）下單位矢量爲，慣性座標系（i系）下單位矢量爲，則兩座標間存在如下的轉換關係：

公式（1）

改寫爲矩陣形式可以得到：

公式（2）

其中P就稱爲從i繫到b系的過渡矩陣。再假設有一個三維矢量，在i系和b系下的投影分別爲：

用投影表示法和座標表示法分別可以表示爲：

公式（3）投影表示法

公式（4）座標表示法

 

將公式（2）代入公式（4）的右邊部分不難得到：

這就是過渡矩陣P存在的意義，可簡記爲下式：

其中表示從b繫到i系的座標變換矩陣，也就是從i繫到b系的過渡矩陣（注意座標系的前後順序）。由於公式（2）的過渡矩陣中每一個元素均表示兩座標軸之間夾角的餘弦值，因此便稱爲方向餘弦矩陣。（例如表示座標軸和之間夾角的餘弦值）。

在明白了什麼是餘弦矩陣後，我們就要嘗試用餘弦矩陣來表徵座標系之間的轉換關係了。

1.2 旋轉矩陣的表示關係

首先明白機體在繞不同軸轉動時所產生的角度，定義俯仰角（Pitch），橫滾角（Roll），偏航角（Yaw）如下圖：

俯仰角（Pitch），橫滾角（Roll），偏航角（Yaw）的含義

 假設現從導航座標系（n系）旋轉至載體座標系（b系），一般的旋轉順序爲繞依次旋轉偏航角、俯仰角、橫滾角，（這也是最常見的旋轉順序）按照此順序旋轉可以得到以下的方向餘弦矩陣：

那麼爲什麼三個方向的旋轉矩陣長這樣呢？那就一定要理解旋轉前後的角度變換關係。以Z軸爲例，並確定左手座標系（這個很重要，左手右手座標系下會得到不同的旋轉矩陣），從OP旋轉至OP'的過程如下圖所示，利用積化和差公式將旋轉關係化簡即可得到上述形式的旋轉矩陣。

箭頭指向的即爲繞Z軸旋轉的旋轉矩陣，同理，繞X軸旋轉俯仰角和繞Y軸旋轉橫滾角會得到類似的結果：

 

X軸和Y軸的旋轉矩陣很相似，但是會發現爲什麼旋轉Y軸時主對角線的矩陣負號相反了？

這是因爲選定了左手座標系的原因（大拇指指向X軸，食指指向Y軸，中指指向Z軸）得到下列三種情況，求導過程與上述相同，只不過在繞Y軸旋轉時X和Z軸的順序要顛倒，具體看圖中的公式：

所以就得到了從導航座標系到載體座標系的旋轉矩陣：