ST表——楊子曰數據結構

ST表——楊子曰數據結構

今天我們來曰一種O(1)查詢的數據結構——ST表

它，就是RMQ問題的剋星！

給你一個數列，對於詢問[l,r]，輸出區間[l,r]內的最大值（你喜歡最小值也可以啦！）

這……我用線段樹O(log n)(搞一搞不久好了嗎？

不好！！！我們是追求速度的人，由於它沒有更新操作，我們可以做到O(1)查詢

我們的ST表閃亮登場！！

（在下面的東西前你也可以先閱讀一下：談談最近公共祖先（LCA）——楊子曰算法，有助於理解）

---

黑餵狗：

ST表最最重要的思想就是——倍增

我們開一個數組 $f[i][j]$表示區間$[i,i+2^j-1]$內的最大值，也就是從$a[i]$開始數$2^j$個數裏面的最大值

Look at the 圖，比如這就是$f[3][2]$表示的最大值區間:

好的，理解了這個數組的含義以後我們來看，怎麼求出這個倍增數組？

掃一遍

初始值很簡單$f[i][0]=a[i]$

那如何轉移呢？

其實就一句話（和倍增求LCA一樣）：

f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);

很好理解吧！

我們來舉個例子，比如我們現在就是要求$f[3][2]$，我們可以從$f[3][1]$和$f[5][1]$轉移過來，也就是要把我們要求的區間一剖爲二：

完美，我們成功把預處理的複雜度做到了O(n log n):

for (int i=1;i<=n;i++){
	f[i][0]=a[i];
}
for (int j=1;j<=20;j++){//注意i和j的循環順序
	for (int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){
		f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
	} 
}

好的，我們現在已經得到了f數組，那我們如何利用它去求出區間最大值呢？

區間的長度不一定是2的整數次冪呀！腫麼辦！！！

太簡單了，比如我們要查詢區間$[2,7]$的最大值，我把它變成$max(f[2][2],f[4][2])$:

兩段區間重疊在一起完全沒有關係的呀！

也就是說，如果查詢的區間是$[l,r]$，我們給出的答案就是：$max(f[l][l+\lfloor log_2(r-l+1) \rfloor],f[l-2^{\lfloor log_2(r-l+1) \rfloor}][\lfloor log_2(r-l+1) \rfloor])$

仔細地研究一下這個式子，它講的其實就是找到一個小於區間長度(r-l+1)的最大2的整數次冪，作爲我們重疊的兩段小區間的長度，然後取靠着左端點的這段，和靠着右端點的這段去一個max就行了！

OK，完事

---

c++代碼（洛谷【P3865】）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=100005;

int a[maxn],f[maxn][35],lg[maxn];

int main(){
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	lg[1]=0;
	for (int i=2;i<=n;i++) lg[i]=lg[i/2]+1;
	for (int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		f[i][0]=a[i];
	}
	for (int j=1;j<=20;j++){
		for (int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){
			f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
		} 
	}
	while(m--){
		int l,r;
		scanf("%d%d",&l,&r);
		int tmp=lg[r-l+1];
		printf("%d\n",max(f[l][tmp],f[r-(1<<tmp)+1][tmp]));
	}
	return 0;
}

ST表：哈哈哈，打不過我吧，沒辦法我就是這麼強大！

線段樹：你動態更新一個個我看看

ST表：……

於HG機房