[論文筆記] A Fast diffeomorphic image registration algorithm

NeuroImage 2007， 提出DARTEL (Diffeomorphic Anatomical Registration using Exponentiaed Lie algebra) 快速配準方法，該文目前有4818個引用
作者信息：
John Ashburner,　Wellcome Trust Center for Neuroimaging, UK

---

0、background

簡單來說，醫學影像配準需要估計兩張影像間平滑連續的映射。大致有兩類方法對這一映射進行建模：

1. 小形變框架：不保證保持拓撲結構，轉換不可逆

2. 大形變框架：爲微分同胚映射，數學性質好，如能保持拓撲結構，轉換可逆

同胚映射： 簡單說來，若有單滿映射$f:X\rightarrow Y$，且$f$,$f^{(-1)}$都是連續的，則稱 $f$是一個同胚映射。當兩個拓撲空間之間存在同胚映射，則稱它們同胚（homeomorphism）。舉例來說，當你捏一個橡皮球時，橡皮球從原有形狀變成了現在的形狀，這就爲一個同胚映射。
微分同胚映射即應用到微分流形上，它存在唯一可逆的映射。

小形變框架不可逆

微分同胚框架可逆

1、Method

DARTEL 方法假定了流場u不隨時間改變。則描述形變的微分公式爲：

得到最終形變需要從 $\Phi^{(0)}=x$ 開始，經過單位時間得到$\Phi^{(1)}$。歐拉方法是利用連續時間小步$h$得到解的簡單方法。

每一步等價爲：

舉例說明，通過8步，歐拉積分方法如下：

實際中會超過8步計算來得到更爲精確的解。經驗表明指數流場的雅可比矩陣行列式總爲正值，這保證了映射爲微分同胚，亦即從同一流場可得到正向與逆向變換。

2、Optimisation

離散化的向量場$u(x)$可表示爲如下，其中v爲參數向量，$\rho_i$爲第i個一階B樣條函數：
對參數$v$，給定數據$D$，目標函數爲：

估計參數的方式爲最大後驗估計(MAP)，$p(D)$爲常數，目標函數可等價爲如下：

第一項爲前驗概率prior probability，第二項爲likelyhood
因爲連續函數的概率密度實際並不存在，貝葉斯方法在實踐中有大量的技術難點。更爲直觀的方法有最小化能量估計，但現有方法都是做局部搜索。
LM算法（Levenberg–Marquardt）爲局部迭代算法，

prior term 以及其導數

在maximum entropy characterisation中，$H$爲 concentration matrix（協方差矩陣的逆矩陣），$Z$爲歸一化常數。先驗項表示爲：

取負對數，得到

一階及二階導爲：

先驗的選擇會影響最終估計的形變在圖像特徵間的插值。DARTEL的實現可以有三種先驗選擇，分別基於membrane, bending 或 linear elastic energy。

membrane energy model

也稱爲laplacian 模型，3D的定義如下：

bending energy model

linear elastic energy model

likelihood term 以及其導數

模型假設圖像g由模板圖像f產生，其中$\epsilon (x)$服從零均值高斯分佈。

每個像素點滿足iid（獨立同分布），則該項表示爲：

一階與二階導如下：

DARTEL算法採用遞歸的方法計算導數。

solving the equation

LM算法每步迭代需要更新如下等式。其中$b$爲一階導，$A$爲稀疏二階導。

因爲模型維度十分龐大，直接計算二階導受內存限制。這裏使用FMG（full multigrid）算法進行逐次逼近（relaxation method），採用多尺度的方式加快速度。
爲得到一系列$M\omega=c$形式的方程的最小平方解，逐次逼近算法需要分解矩陣$M=E+F$，其中$E$容易求逆，$F$爲餘項。遞歸公式爲：

3、Results

評價配準方法：得到的形變結果是否編碼了有效的形狀信息來區分性別以及預測年齡。

sex prediction

age prediction

配準效果

我的筆記

看這種傳統方法的文章感覺還是很喫力，公式多，對數學要求高。這次閱讀只能粗略地瞭解了下這篇經典文章的皮毛。