博弈知識點整理

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博弈滿足的條件:
玩家只有兩個人，輪流做出決策
遊戲的狀態集有限，保證遊戲在有限步後結束，這樣必然會產生不能操作者，其輸
對任何一種局面，勝負只決定於局面本身，而與輪到哪位選手無關

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一、巴什博弈（Bash Game）

1. 問題模型：
   只有一堆n 個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物，規定每次至少取一個，最多取m 個，最後取光者得勝。
2. 解決思路：
   當n=m+1 時，由於一次最多隻能取m 個，所以無論先取者拿走多少個，後取者都能夠一次拿走剩餘的物品，後者取勝，所以當一方面對的局勢是n 時，其面臨的是必敗的局勢。所以當n=（m+1)∗r+s ，（r 爲任意自然數，s≤m )時,如果先取者要拿走s 個物品，如果後取者拿走x(x≤m) 個，那麼先取者再拿走m+1−k 個，結果剩下(m+1)(r−1) 個，以後保持這樣的取法，那麼先取者肯定獲勝。總之，要保持給對手留下（m+1） 的倍數，就能最後獲勝。
3. 變形：
   條件不變， 改爲最後去光的人輸。
4. 解決思路：
   結論：當(n−1)%(m+1)==0 時後手勝利。

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二、尼姆博弈（Nim）

1. 題目類型：
   有三堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆取任意多的物品，規定每次至少取一個，多者不限，最後取光者得勝。
2. 解決思路：
   用（a，b，c） 表示某種局勢，顯證（0，0，0） 是第一種奇異局勢，無論誰面對奇異局勢，都必然失敗。第二種奇異局勢是（0，n，n） ，只要與對手拿走一樣多的物品，最後都將導致（0，0，0） 。 根據（0，n，n） , 我們可一得到a^b^c == 0 爲必敗狀態。
   

   證明a^b^c != 0爲必勝
   拓展到n個數

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三、約數博弈：

1. 題目類型：
   甲乙兩個人玩一個博弈遊戲。遊戲初始狀態包含1-n, 這n個正整數。
   甲乙兩個人輪流玩這個遊戲。每輪遊戲中，遊戲者任意選擇一個還存在的數，然後刪掉它和它所有的約數。
   誰最後沒有數可刪，誰就輸掉了。
2. 解決思路：
   先手有必勝策略。這個證明不是構造性的，也就是說沒有給出先手怎麼下才能贏。反證法：假設後手B有必勝策略，而先手A第一次取數1，B取了一個數x是必勝策略，然而A完全可以第一次取x(同時也必取了1)是必勝策略。故B必沒有必勝策略。
3. 變形：
   考慮一個新的規則“不準寫數字1”。如果加上這個新規則後先寫者有必勝策略，那麼這個策略對於原遊戲同樣適用（因爲1是所有數的約數，本來就不能寫）；如果在新規則下後寫者必勝，則原遊戲中的先寫者寫下數字1，然後他就變成了新規則下的後寫者。於是不管怎麼樣，先寫者總是有必勝策略。

四、 斐波那契數列博弈(Fibonacci)

1. 問題類型：
   有一堆個數爲n的石子，遊戲雙方輪流取石子，滿足：
   
   • 先手不能在第一次把所有的石子取完；
   • 之後每次可以取的石子數介於1到對手剛取的石子數的2倍之間（包含1和對手剛取的石子數的2倍）。 約定取走最後一個石子的人爲贏家。
2. 解決思路：
   當n爲Fibonacci數時，先手必敗。即存在先手的必敗態當且僅當石頭個數爲Fibonacci數。
3. 證明：
   用第二數學歸納法證明：
   
   • 爲了方便，我們將n 記爲f[i] 。當i=2 時，先手只能取1 顆，顯然必敗，結論成立。
   • 假設當i<=k 時，結論成立。 則當i=k+1 時，f[i]=f[k]+f[k−1] 。
     則我們可以把這一堆石子看成兩堆，簡稱k 堆和k−1 堆。
     
     • （一定可以看成兩堆，因爲假如先手第一次取的石子數大於或等於f[k−1] ，則後手可以直接取完f[k] ，因爲f[k]<2∗f[k−1] ）
   • 對於k−1 堆，由假設可知，不論先手怎樣取，後手總能取到最後一顆。下面我們分析一下後手最後取的石子數x的情況:
     
     • 如果先手第一次取的石子數y>=f[k−1]3 ，則這小堆所剩的石子數小於2y ，即後手可以直接取完，此時x=f[k−1]−y ，則x<=23∗f[k−1] 。
     • 我們來比較一下23∗f[k−1] 與12∗f[k] 的大小。即4∗f[k−1] 與3∗f[k] 的大小，對兩值作差後不難得出，後者大。
     • 所以我們得到，x<12∗f[k] 。即後手取完k−1 堆後，先手不能一下取完k 堆，所以遊戲規則沒有改變，則由假設可知，對於k 堆，後手仍能取到最後一顆，所以後手必勝。 即i=k+1 時，結論依然成立。
   • 那麼，當n不是Fibonacci數的時候，情況又是怎樣的呢？
     
     • 這裏需要藉助“Zeckendorf定理”（齊肯多夫定理）：任何正整數可以表示爲若干個不連續的Fibonacci數之和。
     • 分解的時候，要取儘量大的Fibonacci數。
       

       比如分解85：85在55和89之間，於是可以寫成85=55+30，然後繼續分解30,30在21和34之間，所以可以寫成30=21+9，依此類推，最後分解成85=55+21+8+1。

     • 則我們可以把n 寫成 n=f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。（a1>a2>……>ap）
     • 我們令先手先取完f[ap] ，即最小的這一堆。由於各個f 之間不連續，則ap−1>ap+1 ，則有f[ap−1]>2∗f[ap] 。即後手只能取f[ap−1] 這一堆，且不能一次取完。
     • 此時後手相當於面臨這個子游戲（只有f[ap−1] 這一堆石子，且後手先取）的必敗態，即先手一定可以取到這一堆的最後一顆石子。
     • 同理可知，對於以後的每一堆，先手都可以取到這一堆的最後一顆石子，從而獲得遊戲的勝利。

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威佐夫博奕

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五、公平組合博弈（Impartial Combinatori Games）

1. 定義：
   （1）兩人蔘與。
   （2）遊戲局面的狀態集合是有限。
   （3）對於同一個局面，兩個遊戲者的可操作集合完全相同
   （4）遊戲者輪流進行遊戲。
   （5）當無法進行操作時遊戲結束，此時不能進行操作的一方算輸。
   （6）無論遊戲如何進行，總可以在有限步數之內結束.
2. 模型：給定一個有向無環圖和一個起始頂點上的一枚棋子，兩名選手交替的將這枚棋子沿有向邊進行移動，無法移動者判負。事實上，這個遊戲可以認爲是所有公平組合遊戲（Impartial Combinatori Games）的抽象模型。其實，任何一個ICG都可以通過把每個局勢看成一個頂點，對每個局勢和它的子局勢連一條有向邊來抽象成這個“有向圖遊戲”。
   
   • 一個狀態是必敗狀態當且僅當他的所有後繼狀態都是必勝狀態
   • 一個狀態是必勝狀態當且僅當他至少有一個後繼點是必敗狀態
3. Sprague-Grudy定理 （SG函數）：
   
   • 令N={0,1,2,3,...} 爲自然數的集合。Sprague-Grundy 函數給遊戲中的每個狀態分配了一個自然數。結點v的Grundy值等於沒有在v的後繼的Grundy值中出現的最小自然數.
   • 形式上：給定一個有限子集S⊂N ,令mex S(最小排斥值)爲沒有出現在S中的最小自然數。定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於一個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0 。
   • 對於一個給定的有向無環圖，定義關於圖的每個頂點的Sprague-Garundy函數g如下：g(x)=mex{g(y)|y是x的後繼} 。
4. 性質：
   
   • （1）所有的終結點所對應的頂點，其SG值爲0 ，因爲它的後繼集合是空集——所有終結點是必敗點（P點）。
   • （2）對於一個g(x)=0 的頂點x ，它的所有後繼y 都滿足g(y)!=0 ——無論如何操作，從必敗點（P點）都只能進入必勝點（N點）//對手走完又只能把N留給我們。
   • （3）對於一個g(x)!=0 的頂點，必定存在一個後繼點y滿足g(y)=0 ——從任何必勝點（N點）操作，至少有一種方法可以進入必敗點（P點）//就是那種我們要走的方法。