以上內容轉自某大牛博客 http://qing.weibo.com/2126316852/7ebd053433000viz.html
入門一:
首先來玩個遊戲,引用杭電課件上的:
(1) 玩家:2人;
(2) 道具:23張撲克牌;
(3) 規則:
遊戲雙方輪流取牌;
每人每次僅限於取1張、2張或3張牌;
撲克牌取光,則遊戲結束;
最後取牌的一方爲勝者。
想一下。。
首先申明一點,博弈的討論是在大家都玩的最好的情況下討論的。(如果2個玩家智商有差別,那就沒法討論了~~~~開個玩笑哈。)
介紹概念:P點 即必敗點,某玩家位於此點,只要對方無失誤,則必敗;
N點 即必勝點,某玩家位於此點,只要自己無失誤,則必勝。
定理:
一、 所有終結點都是必敗點P(上游戲中,輪到誰拿牌,還剩0張牌的時候,此人就輸了,因爲無牌可取);
二、所有一步能走到必敗點P的就是N點;
三、通過一步操作只能到N點的就是P點;
自己畫下圖看看。
x :0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
pos:P N N N P N N N P N N 。。。
所以若玩家甲位於N點。只要每次把P點讓給對方,則甲必勝;
反之,若玩家甲位於P點,他每次只能走到N點,而只要乙每次把P點讓給甲,甲必敗;
這裏好好理解下;
如果上面的理解的。請解決下面的題目:HDU 1846 2147(注意題目限制內存)(先2道練練手,做不出的話提示:找規律)
接下來介紹Nim遊戲(同樣引用杭電上的,懶的打字)
1.有兩個玩家;
2. 有三堆撲克牌(比如:可以分別是 5,7,9張);
3. 遊戲雙方輪流操作;
4. 玩家的每次操作是選擇其中某一堆牌,然後從中取走任意張;
5.最後一次取牌的一方爲獲勝方;
想一會:
還記得剛纔說的P點和N點嗎?P:必敗點,N:必勝點
先給出結論,這裏要用到位運算,異或:^
遊戲的某個位置(x1,x2,x3) x1,x2,x3表示3堆的個數。當且僅當 x1^x2^x3=0時,此點纔是必敗點P;
結論可以推廣到一般情況,即有n堆,(x1,x2,x3,...xn) 當且僅當x1^x2^x3...^xn=0時,此點纔是必敗點P;
如要看證明過程,鏈接在此 http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?fid=9&tid=10617,看不懂的可以問 我(汗。。)
練習:HDU 2188 2149 (做不出的話先看下面的,然後多思考)
下面介紹sg函數(解決博弈問題的王道)
sg 即Graph Game,把博弈遊戲抽象成有向無環圖
(1) 有向無環圖
(2) 玩家1先移動,起點是x0
(3) 兩個玩家輪流移動
(4) 對於頂點x, 玩家能夠移動到的頂點集記爲F(x).
(5) 不能移動的玩家會輸掉遊戲
首先定義mex(minimal excludant)運算,這是施加於一個集合的運算,表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3、 mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
定義: 一個圖的Sprague-Grundy函數(X,F)是定義在X上的非負函數g(x),並且滿足:
g(x) = mex{g(y) : y∈F(x)}
看到這裏先好好理解一下sg值是怎麼求的;
如果在取子游戲中每次只能取{1,2,3},那麼各個數的SG值是多少?
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14. . .
g(x) 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2. . .
看看這個和上面那個圖的規律:
P-點: 即令 g(x) = 0 的 x 點!
N-點: 即令 g(x) > 0 的 x 點!
練習 HDU 1847 1849 1850 (做不出的話先看下面的,然後多思考)
最後看下組合博弈,就是把簡單的遊戲組合起來,比如3堆的可以看成3個一堆的遊戲。
定理:
假設遊戲 Gi的SG函數是gi, i=1,…,n, 則
G = G1 … Gn 的 SG函數是
g(x1,…,xn) = g1(x1)⊕…⊕gn(xn).
其中那個符合就是異或^
看看是不是和Nim遊戲的結論差不多?
如果想理解原理鏈接在此:http://www.cnitblog.com/weiweibbs/articles/42735.html
看完以上的,做完以下的練習。能理解完基本差不多可以算入門了:
HDU 1848 1517 1536(做不出就思考,思考,多看幾遍)
上一期的文章裏我們仔細研究了Nim遊戲,並且瞭解了找出必勝策略的方法。但如果把Nim的規則略加改變,你還能很快找出必勝策略嗎?比如說:有n堆石子,每次可以從第1堆石子裏取1顆、2顆或3顆,可以從第2堆石子裏取奇數顆,可以從第3堆及以後石子裏取任意顆……這時看上去問題複雜了很多,但相信你如果掌握了本節的內容,類似的千變萬化的問題都是不成問題的。
現在我們來研究一個看上去似乎更爲一般的遊戲:給定一個有向無環圖和一個起始頂點上的一枚棋子,兩名選手交替的將這枚棋子沿有向邊進行移動,無法移動者判負。事實上,這個遊戲可以認爲是所有Impartial Combinatorial Games的抽象模型。也就是說,任何一個ICG都可以通過把每個局面看成一個頂點,對每個局面和它的子局面連一條有向邊來抽象成這個“有向圖遊戲”。下面我們就在有向無環圖的頂點上定義Sprague-Garundy函數。
首先定義mex(minimal excludant)運算,這是施加於一個集合的運算,表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
對於一個給定的有向無環圖,定義關於圖的每個頂點的Sprague-Garundy函數g如下:g(x)=mex{ g(y) | y是x的後繼}。
來看一下SG函數的性質。首先,所有的terminal position所對應的頂點,也就是沒有出邊的頂點,其SG值爲0,因爲它的後繼集合是空集。然後對於一個g(x)=0的頂點x,它的所有後繼y都滿足g(y)!=0。對於一個g(x)!=0的頂點,必定存在一個後繼y滿足g(y)=0。
以上這三句話表明,頂點x所代表的postion是P-position當且僅當g(x)=0(跟P-positioin/N-position的定義的那三句話是完全對應的)。我們通過計算有向無環圖的每個頂點的SG值,就可以對每種局面找到必勝策略了。但SG函數的用途遠沒有這樣簡單。如果將有向圖遊戲變複雜一點,比如說,有向圖上並不是只有一枚棋子,而是有n枚棋子,每次可以任選一顆進行移動,這時,怎樣找到必勝策略呢?
讓我們再來考慮一下頂點的SG值的意義。當g(x)=k時,表明對於任意一個0<=i<k,都存在x的一個後繼y滿足g(y)=i。也就是說,當某枚棋子的SG值是k時,我們可以把它變成0、變成1、……、變成k-1,但絕對不能保持k不變。不知道你能不能根據這個聯想到Nim遊戲,Nim遊戲的規則就是:每次選擇一堆數量爲k的石子,可以把它變成0、變成1、……、變成k-1,但絕對不能保持k不變。這表明,如果將n枚棋子所在的頂點的SG值看作n堆相應數量的石子,那麼這個Nim遊戲的每個必勝策略都對應於原來這n枚棋子的必勝策略!
對於n個棋子,設它們對應的頂點的SG值分別爲(a1,a2,...,an),再設局面(a1,a2,...,an)時的Nim遊戲的一種必勝策略是把ai變成k,那麼原遊戲的一種必勝策略就是把第i枚棋子移動到一個SG值爲k的頂點。這聽上去有點過於神奇——怎麼繞了一圈又回到Nim遊戲上了。
其實我們還是隻要證明這種多棋子的有向圖遊戲的局面是P-position當且僅當所有棋子所在的位置的SG函數的異或爲0。這個證明與上節的Bouton's Theorem幾乎是完全相同的,只需要適當的改幾個名詞就行了。
剛纔,我爲了使問題看上去更容易一些,認爲n枚棋子是在一個有向圖上移動。但如果不是在一個有向圖上,而是每個棋子在一個有向圖上,每次可以任選一個棋子(也就是任選一個有向圖)進行移動,這樣也不會給結論帶來任何變化。
所以我們可以定義有向圖遊戲的和(Sum of Graph Games):設G1、G2、……、Gn是n個有向圖遊戲,定義遊戲G是G1、G2、……、Gn的和(Sum),遊戲G的移動規則是:任選一個子遊戲Gi並移動上面的棋子。Sprague-Grundy Theorem就是:g(G)=g(G1)^g(G2)^...^g(Gn)。也就是說,遊戲的和的SG函數值是它的所有子游戲的SG函數值的異或。
再考慮在本文一開頭的一句話:任何一個ICG都可以抽象成一個有向圖遊戲。所以“SG函數”和“遊戲的和”的概念就不是侷限於有向圖遊戲。我們給每個ICG的每個position定義SG值,也可以定義n個ICG的和。所以說當我們面對由n個遊戲組合成的一個遊戲時,只需對於每個遊戲找出求它的每個局面的SG值的方法,就可以把這些SG值全部看成Nim的石子堆,然後依照找Nim的必勝策略的方法來找這個遊戲的必勝策略了!
回到本文開頭的問題。有n堆石子,每次可以從第1堆石子裏取1顆、2顆或3顆,可以從第2堆石子裏取奇數顆,可以從第3堆及以後石子裏取任意顆……我們可以把它看作3個子遊戲,第1個子遊戲只有一堆石子,每次可以取1、2、3顆,很容易看出x顆石子的局面的SG值是x%4。第2個子遊戲也是隻有一堆石子,每次可以取奇數顆,經過簡單的畫圖可以知道這個遊戲有x顆石子時的SG值是x%2。第3個遊戲有n-2堆石子,就是一個Nim遊戲。對於原遊戲的每個局面,把三個子游戲的SG值異或一下就得到了整個遊戲的SG值,然後就可以根據這個SG值判斷是否有必勝策略以及做出決策了。其實看作3個子遊戲還是保守了些,乾脆看作n個子遊戲,其中第1、2個子遊戲如上所述,第3個及以後的子游戲都是“1堆石子,每次取幾顆都可以”,稱爲“任取石子游戲”,這個超簡單的遊戲有x顆石子的SG值顯然就是x。其實,n堆石子的Nim遊戲本身不就是n個“任取石子游戲”的和嗎?
所以,對於我們來說,SG函數與“遊戲的和”的概念不是讓我們去組合、製造稀奇古怪的遊戲,而是把遇到的看上去有些複雜的遊戲試圖分成若干個子游戲,對於每個比原遊戲簡化很多的子游戲找出它的SG函數,然後全部異或起來就得到了原遊戲的SG函數,就可以解決原遊戲了。這種“分而治之”的思想在下一節介紹的“翻硬幣遊戲”中將被應用得淋漓盡致。還是敬請期待。
例題:hdu 1536 S-Nim
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<string>
using namespace std;
int a[110];
int sg[10010];
int n;
int GetSg(int v)
{
int hash[110]={0};//用於尋找最小的SG值做標記
int temp;
for(int i=0;i<n;i++)
{
temp=v-a[i];
if(temp<0)
break;
if(sg[temp]==-1)//尋找最小的SG數
{
sg[temp]=GetSg(temp);
}
hash[sg[temp]]=1;//爲後繼點加上標記
}
for(int i=0;;i++)//找到每一個SG[i]的最小SG值
{
if(hash[i]==0)
return i;
}
}
int main()
{
while(scanf("%d",&n),n)
{
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&a[i]);//能取的數
sort(a,a+n);
memset(sg,-1,sizeof(sg));
sg[0]=0;
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
int m,v,ans=0;
scanf("%d",&m);
for(int i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d",&v);
sg[v]=GetSg(v);
ans^=sg[v];
}
if(ans==0) printf("L");
else printf("W");
}
printf("\n");
}
}
其他例題: hdu 1848....