高等數學（下）知識點總結（2）

高等數學（下）知識點總結

期末，總結一下高數下的知識點
第八章，第九章見上一篇博客

第八章_空間解析幾何和向量代數

第九章_多元函數微分法及其應用

第十章_重積分

這一部分計算方法不細說，學過應該有影響，僅強調關鍵詞（點）

10.1 重積分概念

1、引出：曲頂柱體的體積

1）分割：將曲頂柱體的底$D$劃分爲$n$小份$\Delta D_i$，然後以$n$個底將曲頂柱體劃分爲$n$個小曲頂柱體$\Delta V_i$
2）近似：$\forall(\xi_i,\eta_i)\in\Delta D_i$，以該點對應的高作爲轉化爲平頂柱體的高（即此時的柱體體積近似表示爲真實體積）
3）求和：$V = \sum^{n}_{i = 1}\Delta V_i\approx \sum^{n}_{i = 1}f(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_i$
4）取極限：$\lambda = \max \{d_i\}$（$d_i$表示分割後底的直徑）
$V = \lim_{\lambda \to 0}\sum^{n}_{i = 1}f(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_i$

2、平面薄板的質量
1）分割
2）近似
3）求和
4）取極限

3、定義：設$f(x,y)$是有界閉區域$D$上的有界函數，將閉區域$D$任意分成$n$份小區域$\Delta D_1,\Delta D,\cdots \Delta D_n$設$\Delta \sigma_k$表示$k$個小區域$\Delta D_k$的面積，在每個$\Delta D_k$上任取一點$(\xi_k,\eta_k)\in\Delta D_k$，做乘積$f(\xi_k,\eta_k)\Delta \sigma_k$，並作和$\sum^{n}_{k=1}f(\xi_k,\eta_k)\Delta \sigma_k$，如果當個小閉區域的直徑中的最大值$\lambda$趨於零時，這和式的極限存在，則稱此極限爲函數$f(x,y)$閉區域$D$上的二重積分。
記作：$\iint_Df(x,y)d\sigma = \lim_{\lambda \to 0}\sum^{n}_{k=1}f(\xi_k,\eta_k)\Delta \sigma_k$

4、二重積分的幾何意義
類比定積分，表示對應曲頂柱體體積等

5、存在性定理
1）若函數在有界閉區域D上連續則函數在D上可積
2）若有界函數在有界閉區域D上除去有限個點或有限條光滑曲線外都連續

6、二（三）重積分的性質
1）線性性
2）區域可加性
3）保序性
4）估值性
5）中值性
6）對稱性（最常用的性質，在計算二重積分前先考慮對稱性，但切忌濫用）

10.2二重積分的計算

1）直角座標
先x後y or 先y後x
2）極座標
$d\sigma = \rho d\rho d\theta$

10.3三重積分的計算

1）直角座標
投影法（先一後二） or 截面法（先二後一）【有時不適用，關鍵時候有用，一般情況不推薦】
2）柱座標（個人直觀感受：直角座標+極座標）
【本質上還是先一後二】
$x = \rho cos\theta$
$y = \rho sin\theta$
$z = z$
$dv = \rho d\rho d\theta dz$
3）球座標（不常用，但對於球體計算十分簡單）

$x = r sin\theta cos\varphi$
$y = r sin\theta sin\varphi$
$z = r cos\theta$
$dv = r^2 sin\varphi d\varphi d\theta dr$

注意事項（重積分計算小結）

10.4重積分的應用

1、曲面的面積
$A = \iint_D\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}d\sigma$

2、物體的質心
$\overline{x} = \frac{M_x}{M} = \frac{\iint_Dx\mu d\sigma}{\iint_D\mu d\sigma}$(M表示力矩)
$\overline{y} = \frac{M_y}{M} = \frac{\iint_Dy\mu d\sigma}{\iint_D\mu d\sigma}$
（形心）：
$\overline{x} = \frac{\iint_Dxd\sigma}{A}$
$\overline{y} = \frac{\iint_Dyd\sigma}{A}$
形心公式在計算積分是常可以巧妙的起到簡化運算的作用，需重視！

3、物體的轉動慣量
$I_x = \iint_Dy_2\mu d\sigma$
$I_y = \iint_Dx_2\mu d\sigma$

$I_x = \iiint_D(y_2+z^2)\mu dv$
$I_y = \iiint_D(x_2+z^2)\mu dv$
$I_z = \iiint_D(y_2+x^2)\mu dv$

4、物體的引力(不常用)
$r = (x-x_0,y-x_0,z-z_0)$
$F = \iiint_\Omega dF =(G\iiint_\Omega \frac{\mu(x-x_0)}{r^3}dv,G\iiint_\Omega \frac{\mu(y-y_0)}{r^3}dv,G\iiint_\Omega \frac{\mu(z-z_0)}{r^3}dv$

5、立體體積
$V = \iint_Df(x,y)dxdy$
$V = \iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz$

第十一章_幾類特殊的積分

本章的重點在計算方法上，對於定義適當參考即可

11.1對弧長的曲線積分

1、概念和性質
1）$\int_\Gamma f(x,y,z)ds = \lim_{\lambda \to 0}\sum^{n}_{k=1}{f(\xi_k,\eta_k,\zeta_k)\Delta s_k}$
2）存在性條件
$f(x,y,z)$在曲線$\Gamma$上連續，則$\int_\Gamma f(x,y,z)ds$一定存在
3）幾何意義
$\int_\Gamma ds = l$（$l$爲曲線$\Gamma$的長度）
4）曲線積分的性質
線性性 可加性 保序性 估值性 中值性 對稱性 與方向無關性

2、計算方法
定理：設$f(x,y)$在曲線弧上有定義且連續，$L$的參數方程爲$x = \varphi(t),y = \psi(t)$，若$\varphi(t),\psi(t)$在$[\alpha,\beta]$上具有一階連續導數，且$\varphi(t)'^2+\psi(t)'^2 \neq 0$則曲線積分$\int_\Gamma f(x,y)ds$存在，且$\int_\Gamma f(x,y,z)ds =\int_{\alpha}^{\beta}f(\phi(t),\psi(t))\sqrt{\varphi(t)'^2+\psi(t)'^2}dt$
若$L$由方程$\rho = \rho(x)$或$x = \rho(\theta)cos\theta,y = \rho(\theta)sin\theta$，則$\int_\Gamma f(x,y,z)ds =\int_{\alpha}^{\beta}f(\rho(\theta)cos\theta, \rho(\theta)sin\theta)\sqrt{\rho(\theta)^2+\rho(\theta)'^2}d\theta$
若由方程$y = y(x)(a\leq x \leq b)$，則$\int_{L}f(x,y)ds =\int_{a}^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+y(x)'^2}dx$

11.2對座標的曲線積分

1、概念和性質
1）
2）存在條件
函數$P(x,y),Q(x,y)$是被積函數，他們在光滑曲線弧$L$上連續時，第二類曲線積分存在
3）物理意義
因該類曲線積分存在方向，可參考力的做功理解
4）性質
線性性 可加性 方向性

2 、計算方法
定理：設$P(x,y),Q(x,y)(x,y)\in L$連續，有向光滑曲線弧$L:x = \phi(t),y = \psi(t) ,t:\alpha \to \beta$若$\phi(t),\psi(t)$在$[\alpha,\beta]$或$[\beta,\alpha]$上具有一階連續導數，且$\varphi(t)'^2+\psi(t)'^2 \neq 0$，則對座標的曲線積分存在，且$\int_LP(x,y)dx = \int_{\alpha}^{\beta}P(\phi(t),\psi(t))\phi(t)'dt$即，$\int_LF(x,y)dr = \int_{\alpha}^{\beta}P(\phi(t),\psi(t))\phi(t)' + \int_{\alpha}^{\beta}Q(\phi(t),\psi(t))\psi(t)' dt$
$dx = \phi(t)'dt$
$dy = \psi(t)'dt$

3、兩類曲線積分的聯繫
$cos\alpha =\frac{\phi(t)'}{\sqrt{\phi(t)'^2+\psi(t)'^2}}$
$cos\beta =\frac{\psi(t)'}{\sqrt{\phi(t)'^2+\psi(t)'^2}}$
則，$\int_{L}Pdx+Qdy = \int_{L}(Pcos\alpha+Qcos\beta)ds$

11.3格林公式

1、$\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy = \int_LPdx+Qdy$其中，$L$爲光滑閉合曲線，$D$爲曲線圍成的區域（注意包含分母爲零的點時，偏導數不連續，該式不成立）

2、若①D是單連通區域②函數P,Q在D內具有一階連續偏導數，則當$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$在D內恆成立，曲線積分$\int_LPdx+Qdy$在D內與路徑無關

3、以下是三個相互等價的條件
1）D內存在二元函數$u(x,y)$且$du = P(x,y)dx+Q(x,y)dy$
2）$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$在D內恆成立，且$u(x,y) = \int_{x_0,y_0}^{x,y}Pdx+Qdy$
3）$\int_LPdx+Qdy$在D內與路徑無關
注：對於$u(x,y)$的求法，$u(x,y) = \int_{x_0,y_0}^{x,y}Pdx+Qdy = \int_{x_0}^{x}Pdx + \int_{y_0}^{y} Qdy$

4、對於$0 = P(x,y)dx+Q(x,y)dy$全微分方程而言，$u(x,y) = C$就是其隱式通解

11.4對面積的曲面積分

1、概念和性質
1）

2）性質
線性性 積分曲面可加性 保序性 估值性 積分中值定理 對稱性 曲面積分與曲面的側無關

2、計算方法
$\iint_\Sigma f(x,y,z)ds = \iint_\Sigma f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$

11.5對座標的曲面積分

1、概念和性質
1）有向曲面

方向餘弦	$cos\alpha$	$cos\beta$	$cos\gamma$	封閉曲面
側的規定	>0前側，<0後側	>0右側，<0左側	>0上側，<0下側	外側，內側

注：實際看的就是法向量與座標軸正方向的夾角的餘弦值
2）概念


3）存在條件
$R(x,y,z)$在光滑曲面$\Sigma$上連續
4）性質
線性性 可加性 相反側

2、計算方法
$\iint_\Sigma R(x,y,z)dxdy = \iint_{D{_x}{_y}}R(x,y,z(x,y))dxdy$
注意：曲面的側

3、兩類曲面積分的關係
$\iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx +Rdxdy = \iint_\Sigma(Pcos\alpha+Q\cos\beta+Rcos\gamma)ds$

4、綜合計算公式
$\iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx +Rdxdy = +/-\iint_D{_x}{_y}[P(-z_x)+Q(-z_y)+R]dxdy$

11.6高斯公司&斯托克斯公式

1、高斯公式
設空間區域$\Omega$由閉曲面$\Sigma$所圍成，$\Sigma$方向取外側，函數P,Q,R在$\Omega$上具有一階連續偏導數，則$\iiint_\Omega(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv = \iint_\Sigma Pdydz+Qdxdz + Rdxdy =\iint_\Sigma (Pcos\alpha +Qcos\beta + Rcos\gamma)ds$其中$cos\alpha,cos\beta,cos\gamma$都是閉曲面在點$(x,y,z)$處的法向量的方向餘弦
注：偏導數務必連續

2、斯托克斯公式
（右手關係）
設光滑曲面$\Sigma$的邊界$\Gamma$是分段光滑曲線，$\Sigma$的側與$\Gamma$複合右手法則，P,Q,R在包含$\Sigma$在內的一個空間域內具有連續一階偏導數，則有$\iint_\Sigma(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz + (\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx +(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy = \int_\Gamma Pdx+Qdy +Rdz$

3、通量 散度 環流量 旋度
通量和散度：設有向量場$\vec A (x,y,z) =P\vec i+Q\vec j+R\vec k$，其中P,Q,R具有連續一階偏導數，$\Sigma$是場內的一片有向曲面，其單位法向量$\vec n$，則稱$\iint_\Sigma \vec A\vec nds$爲向量場$\vec A$通過有向曲面$\Sigma$的通量，在場中$M(x,y,z)$處，$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$記作div $\vec A$稱爲向量場$\vec A$在點$M$的散度
環流量和旋度： $\iint_\Sigma(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz + (\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx +(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy = \int_\Gamma Pdx+Qdy +Rdz = \int_\Gamma \vec A \tau ds$稱爲環流量，$((\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}) , (\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}) ,(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}))$記作rot $\vec A$稱爲向量場$\vec A$的旋度
注意：對於曲面的第二類積分要充分理解方向性和其投影，加強對dxdy的理解

第十二章_無窮級數

12.1常數項級數

1、定義
1）給定數列$\{U_n\}$，有該數列構成的表達式$u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$，稱爲常數項級數，簡稱級數，記爲$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$，$u_1$爲首項，$u_n$爲一般項。
有限和式$S_n = u_1+u_2+u_3+\cdots+u_n$稱爲$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$的前n項和
2）如果級數$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$的部分和數列{$S_n$}有極限S，即$\lim_{n \to \infty} = S$，則稱無窮級數收斂，並稱級數的和胃S，記爲$s = u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots = $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$，如果級數不收斂，則$\{S_n\}$沒有極限。
當級數收斂時，稱差值$r_n =s - s_n = u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots$爲級數的餘項，$\lim_{n \to \infty}r_n = 0$

2、收斂級數的基本性質
1）若級數$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$收斂於S，即$s = $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$，則各項乘以c所得的級數$\sum_{n=1}^{\infty}{cu_n} = cs$也收斂
2）設有兩個收斂級數$s =\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}，\sigma = \sum_{n=1}^{\infty}{v_n}$，則級數$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n \pm v_n}$也收斂，其和爲$s\pm\sigma$
推論1：若兩個級數中一個收斂一個發散，則$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n \pm v_n}$必發散
推論2：若兩個級數都發散，$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n \pm v_n}$不一定收斂，也不一定發散
性質3：在級數前面加上後去掉有限項，不會影響級數的斂散性
性質4：收斂級數加括弧後所成的級數仍收斂於原級數的和
推論：若能加括弧後的級數發散，則原級數必發散
性質5：設收斂級數$s = \sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$，則必要$\lim_{n \to \infty}u_n = 0$
推論：若級數的一般項不趨於0，則級數必發散

3、審斂法（正項級數）
正項級數收斂$\to$部分和序列有界
1）比較審斂法
對於正項級數$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$和$\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}$，$u_n<v_n$，則①若$\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}$收斂，則$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$收斂，②若$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$發散，則$\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}$發散
2）比較審斂法的極限形式
對於正項級數$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$和$\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}$，滿足$\lim_{n \to \infty}\frac{u_n}{v_n} =l$,則：
①當$0<l<\infty$時，兩個級數的斂散性相同
②當$l = 0$時，$\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}$收斂，$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$也收斂
③當$l=\infty$時，$\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}$發散，$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$也發散
3）比值審斂法
設$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$爲正項級數，且$\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} =\rho$
①當$\rho<1$時，$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$收斂
②當$\rho = 1$時，$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$斂散性不確定
③當$\rho>1$時，$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$發散
4）根值審斂法
設$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$爲正項級數，且$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{u_n} = \rho$則：
①當$\rho<1$時，$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$收斂
②當$\rho = 1$時，$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$斂散性不確定
③當$\rho>1$時，$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$發散
5）極限審斂法（與比值審斂法無異）

12.2交錯級數

1、定義
設$u_n>0$，$n=1,2,3\cdots$，級數$u_1-u_2+u_3\cdots +(-1)^nu_n+$稱爲交錯級數

2、Leibnitz判別法
若交錯級數滿足：①$u_n\geq u_{n+1}$②$\lim_{n \to \infty}u_n = 0$則級數$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}{u_n}$收斂，且其和$s<u1$，其餘項滿足$|r_n|\leq u_{n+1}$

3、絕對收斂於條件收斂
通俗易懂的講，絕對收斂指級數的絕對值收斂，條件收斂指級數的絕對值不收斂，但原級數收斂。另外，如果是根據根值法或比值法判定出級數的絕對值發散，則原級數一定發散

12.3冪級數

幾個小概念：函數項級數，收斂域，發散域，級數的和函數，前n項和，餘項

1、定義
形如：$\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}(x-x_0)^n = a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots$的函數項級數稱爲冪級數，其中數列$a_n$稱爲冪級數的性質（一般$x_0 = 0$）

2、性質
定理1：若冪級數$\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}x^n$在$x_0 = x$收斂，則對滿足不等式$|x|<|x_0|$的一切x冪級數都絕對收斂，反之，對$x = x_0$時發散，$|x|>|x_0|$的一切x冪級數都發散
定理2：若$\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}x^n$的係數滿足$\lim_{n \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \rho$，則
①當$\rho \neq 0$時，$R = \frac{1}{\rho}$
②當$\rho = 0$時，$R = \infty$
③當$\rho = \infty$時，$R = 0$
注：冪級數的收斂半徑滿足線性性和疊加性
定理4：冪級數的收斂半徑R>0,則其和函數s（x）在收斂域內連續，且可逐項求導，逐項積分，收斂半徑不變（應用於求冪級數的和函數）

3、冪級數的展開式
直接展開法

間接展開法

4、近似計算（瞭解即可）
湊展開式，約束餘項

12.4傅里葉級數

1、三角級數
形如：$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncos\frac{n\pi t}{l}+b_nsin\frac{n\pi t}{l})$的級數稱爲三角級數，（這裏原始式子即使一般形式，下面的簡化是對週期爲$2\pi$的形式）令$\frac{\pi t}{l} = x$則$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncosnx + b_nsinnx)$
★這裏對$cosx,sinx ,cos2x, sin2x\cdots$其中兩個不同函數的乘積在$[-\pi,\pi]$上積分等於零

2、展開爲傅里葉級數
$f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncosnx + b_nsinnx)$
則其中$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnxdx$，$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinnxdx$
注：對於一般形式
$a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx$
$b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx$

3、收斂定理
$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncosnx + b_nsinnx)$ = f(x)(x爲連續點) or $\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$(x爲間斷點)

4、週期延拓
5、餘弦級數和正弦級數
奇延拓/偶延拓