編輯傳播論文AppWand解讀

最近看到好幾篇論文如Colorization，poisson image editing等都使用線性系統求解泊松方程。今天找一篇文章簡單推導一下：

參考論文：AppWand: Editing Measured Materials using Appearance-Driven Optimization， SIGGRAPH 07

論文是編輯傳播領域的經典論文，用於將局部的編輯，傳播到圖像的所有區域，實現全局合理的顏色編輯。論文的核心能量函數爲：

$E =\sum_i{(e_i-g_i})^2w_i +\sum_i\sum_{j\in N_i }(e_i-e_j)^2z_{ij } （1）$

其中，$e_i$爲待求的編輯參數， $g_i$爲已知的編輯部分，如果第 $i$ 個像素被着色了， 那麼 $w_i = 1$, 否則 $w_i = 0$。$z_{ij}$ 爲已知量的表示像素 $i$ 和像素 $j$ 的相似度。

我們對（1）中 $e_i$ 求導有：

$\partial E /\partial e_i= \sum_i{2(e_i-g_i})w_i +\sum_i\sum_{j\in N_i }2(e_i-e_j)z_{ij} + \sum_i\sum_{j\in N_i }2(e_j-e_i)z_{ji}$

注意最後一項，因爲 $e_i$ 和 $e_j$ 相鄰，所以， $e_i$ 同樣會出現在所有鄰居的鄰居中。
令上式爲0：

$\partial E /\partial e_i= \sum_i{2(e_i-g_i})w_i +\sum_i\sum_{j\in N_i }2(e_i-e_j)z_{ij} + \sum_i\sum_{j\in N_i }2(e_j-e_i)z_{ji} = 0$

$\sum_i{(e_i-g_i})w_i +\sum_i\sum_{j\in N_i }2(e_i-e_j)z_{ij} = 0$

$\sum_i{e_iw_i} +\sum_i\sum_{j\in N_i }2(e_i-e_j)z_{ij} =\sum_i{g_iw_i}$

實際上已經構建了一個$Ae = b$的線性系統：

$A_{ij} = \begin{cases} w_i +2 \sum_{j\in N_i}z_{ij} ,& i = j\\ -2z_{ij} ,& j \in N_i\\ 0, & otherwise\end{cases}.$

上述案例其實完全可以手動推導，只需要給定如下的水平放置的3個像素即可推導。

總的能量公式爲：

$E = (e_1-g_1)^2w_1 + (e_3-g_3)^2w_3 + (e_1-e_2)^2z_{12} +(e_1-e_3)^2z_{13}+(e_2-e_1)^2z_{21} + (e_2-e_3)^2z_{23}+(e_3-e_1)^2z_{31} + (e_3-e_2)^2z_{32}$

$\partial E /\partial e_1 =2(e_1-g_1)w_1+4(e_1-e_2)z_{12}+4(e_1-e_3)z_{13}$

$\partial E /\partial e_2 =4(e_2-e_1)z_{21}+4(e_2-e_3)z_{23}$

$\partial E /\partial e_3 =2(e_3-g_3)w_3+4(e_3-e_1)z_{31}+4(e_3-e_2)z_{32}$

令幾個偏導數 = 0：

$e_1(w_1+2z_{12}+2z_{13}) -2e_2z_{12}-2e_3z_{13} = g_1w_1$

$e_2(z_{12}+z_{23}) -e_1z_{12}-e_3z_{23} = 0$

$e_3(w_3+2z_{31}+2z_{32}) -2e_1z_{31}-2e_2z_{32} = g_3w_3$

因此，跟上面的公式保持一致。

如果直接從矩陣形式推導應該也可以，可能會用到如下幾個簡單矩陣求導公式：

參考一本矩陣書：https://www.math.uwaterloo.ca/~hwolkowi/matrixcookbook.pdf