ACM幾何問題基礎知識講解（附代碼）

首先我們要理解什麼是向量，向量就是有大小和方向的量。在平面座標系中，向量用x，y表示。等於向量起點到終點的位移。以下是它們的常用定義：

struct Point
{
double x,y;
Point(double x=0,double y=0):x(x),y(y){}//構造函數
};
typedef Point Vector;
//向量+向量=向量，點+向量=點
Point operator+(Point A,Point B)
{
return Point(A.x+B.x,A.y+B.y);
}
//點-點=向量
Point operator-(Point A,Point B)
{
return Point(A.x-B.x,A.y-B.y);
}
//向量*數=向量
Point operator*(Point A,double p)
{
return Point(A.x*p,A.y*p);
}
//向量/數=向量
Point operator/(Point A,double p)
{
return Point(A.x/p,A.y/p);
}
double eps=1e-10;
//如果等於0,返回0，小於0返回-1，大於0,返回1
int dcmp(double x)
{
if(fabs(x)<eps)return 0;else return x<0?-1:1;
}
//判斷是否相等
bool operator==(const Point& a,const Point &b)
{
return dcmp(a.x-b.x)==0&&dcmp(a.y-b.y)==0;
}
int main()
{
Point a,b,c;
double p=2;
a.x=4;
a.y=3;
b.x=2;
b.y=5;
c=a+b;//向量+向量=向量
c=a-b;//點-點=向量
c=a/p;//向量/數=向量
c=a*p;//向量*數=向量
return 0;
}

struct Point
{
    double x,y;
    Point(double x=0,double y=0):x(x),y(y){}//構造函數
};
typedef Point Vector;

//向量+向量=向量，點+向量=點
Point operator+(Point A,Point B)
{
    return Point(A.x+B.x,A.y+B.y);
}

//點-點=向量
Point operator-(Point A,Point B)
{
    return Point(A.x-B.x,A.y-B.y);
}


//向量*數=向量
Point operator*(Point A,double p)
{
    return Point(A.x*p,A.y*p);
}


//向量/數=向量
Point operator/(Point A,double p)
{
    return Point(A.x/p,A.y/p);
}
double eps=1e-10;

//如果等於0,返回0，小於0返回-1，大於0,返回1
int dcmp(double x)
{
    if(fabs(x)<eps)return 0;else return x<0?-1:1;
}

//判斷是否相等
bool operator==(const Point& a,const Point &b)
{
    return dcmp(a.x-b.x)==0&&dcmp(a.y-b.y)==0;
}

int main()
{
    Point a,b,c;
    double p=2;
    a.x=4;
    a.y=3;
    b.x=2;
    b.y=5;
    c=a+b;//向量+向量=向量
    c=a-b;//點-點=向量
    c=a/p;//向量/數=向量
    c=a*p;//向量*數=向量
    return 0;
}

基本運算

點積是兩個向量v和w的點積等於二者長度的乘積在乘上它們夾角的餘弦。如果兩向量垂直，點積就等於0。兩個向量OA和OB的點積等於xa*xb+ya*yb。下面是點積計算方法，以及用點積計算向量長度和夾角的函數。

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//點積計算方法
double Dot(Point A,Point B)
{
return A.x*B.x+A.y*B.y;
}
//點到原點的長度
double Lenth(Point A)
{
return sqrt(Dot(A,A));
}
//角度計算
double Angle(Point A,Point B)
{
return acos(Dot(A,B)/Lenth(A)/Lenth(B));
}

//點積計算方法
double Dot(Point A,Point B)
{
    return A.x*B.x+A.y*B.y;
}
//點到原點的長度
double Lenth(Point A)
{
    return sqrt(Dot(A,A));
}
//角度計算
double Angle(Point A,Point B)
{
    return acos(Dot(A,B)/Lenth(A)/Lenth(B));
}

叉積就是兩個向量v和w組成的三角形的有向面積的兩倍。叉積的計算方法及三角形面積的兩倍的計算方法如下：

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//就算OA和OB的叉積
double Cross(Point A,Point B)
{
return A.x*B.y-A.y*B.x;
}
//計算三角形的面積的兩倍
double Area(Point A,Point B,Point C)
{
return Cross(B-A,C-A);
}

//就算OA和OB的叉積
double Cross(Point A,Point B)
{
    return A.x*B.y-A.y*B.x;
}

//計算三角形的面積的兩倍
double Area(Point A,Point B,Point C)
{
    return Cross(B-A,C-A);
}

向量的旋轉。向量可以繞起點旋轉，公式爲x'=x*cosa-y*sina，y'=x*sina+y*cosa。其中a爲逆時針旋轉的角。代碼如下：

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//向量的旋轉
Point Rotate(Point A,double rad)//rad是弧度
{
return Point(A.x*cos(rad)-A.y*sin(rad),A.x*sin(rad)+A.y*cos(rad));
}

//向量的旋轉
Point Rotate(Point A,double rad)//rad是弧度
{
    return Point(A.x*cos(rad)-A.y*sin(rad),A.x*sin(rad)+A.y*cos(rad));
}

下面的函數計算向量的單位法線，即左轉90度以後把長度歸一化。

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//計算向量單位法線
Point Normal(Point A)
{
double l=Lenth(A);
return Point(-A.y/l,A.x/l);
}

//計算向量單位法線
Point Normal(Point A)
{
    double l=Lenth(A);
    return Point(-A.y/l,A.x/l);
}

點和直線

直線上一點可以用直線上一點p0和方向向量v來表示。直線上所有點p=p0+t*v.其中t爲參數。如果已知直線上的兩個不同點A和B，則方向向量爲B-A，所以參數方程A+(B-A)*t。對於直線t沒有限制，射線t>0，線段0<t<1。

直線交點。設直線分別爲P+tv和Q+tw，設向量u=P-Q,交點在第一條直線的參數爲t1，第二條直線的參數爲t2，則x和y座標可以列出一個方程，解得：

t1=cross(w,u)/cross(v,w)，t2=cross(v,u)/cross(v,w)。

代碼如下：

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//直線交點公式
Point GetLineIntersection(Point P,Point V,Point Q,Point W)
{
Point u=P-Q;
double t=Cross(W,u)/Cross(V,W);
return P+V*t;
}

//直線交點公式
Point  GetLineIntersection(Point P,Point V,Point Q,Point W)
{
    Point u=P-Q;
    double t=Cross(W,u)/Cross(V,W);
    return P+V*t;
}

點到直線的距離。點到直線的距離是一個常用函數，可以用叉積算出，即用平行四邊形的面積除以底，代碼如下：

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//點到直線的距離
double DistanceToLine(Point P,Point A,Point B)
{
Point v1=B-A,v2=P-A;
return fabs(Cross(v1,v2))/Lenth(v1);
}

//點到直線的距離
double DistanceToLine(Point P,Point A,Point B)
{
    Point v1=B-A,v2=P-A;
    return fabs(Cross(v1,v2))/Lenth(v1);
}

點到線段的距離有兩種情況，代碼如下：

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//點到線段的距離
double DistanceToSegment(Point P,Point A,Point B)
{
if(A==B) return Lenth((P-A));
Point v1=B-A,v2=P-A,v3=P-B;
if(dcmp(Dot(v1,v2))<0)return Lenth(v2);
else if(dcmp(Dot(v1,v3))>0)return Lenth((v3));
else return fabs(Cross(v1,v2))/Lenth(v1);
}

//點到線段的距離
double DistanceToSegment(Point P,Point A,Point B)
{
    if(A==B) return Lenth((P-A));
    Point v1=B-A,v2=P-A,v3=P-B;
    if(dcmp(Dot(v1,v2))<0)return Lenth(v2);
    else if(dcmp(Dot(v1,v3))>0)return Lenth((v3));
    else return fabs(Cross(v1,v2))/Lenth(v1);
}

點在直線上的投影，代碼如下：

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//點P在直線AB上的投影
Point GetLineProjecton(Point P,Point A,Point B)
{
Point v=B-A;
return A+v*(Dot(v,P-A)/Dot(v,v));
}

//點P在直線AB上的投影
Point GetLineProjecton(Point P,Point A,Point B)
{
    Point v=B-A;
    return A+v*(Dot(v,P-A)/Dot(v,v));
}

線段相交判定。給定兩條線段，判斷是否相交。我們定義“規範相交”爲兩線段恰好有一個公共點，且不在任何一條線段的端點。線段規範相交的充要條件是：每條線段的兩個端點都在另一條線段的兩側。代碼如下：

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//判斷線段相交（不含端點）
bool SegmentProperIntersection(Point a1,Point a2,Point b1,Point b2)
{
double c1=Cross(a2-a1,b1-a1),c2=Cross(a2-a1,b2-a1),
c3=Cross(b2-b1,a1-b1),c4=Cross(b2-b1,a2-b1);
return dcmp(c1)*dcmp(c2)<0&&dcmp(c3)*dcmp(c4)<0;
}

//判斷線段相交（不含端點）
bool SegmentProperIntersection(Point a1,Point a2,Point b1,Point b2)
{
    double c1=Cross(a2-a1,b1-a1),c2=Cross(a2-a1,b2-a1),
    c3=Cross(b2-b1,a1-b1),c4=Cross(b2-b1,a2-b1);
    return dcmp(c1)*dcmp(c2)<0&&dcmp(c3)*dcmp(c4)<0;
}

如果允許在端點出相交，情況就比較複雜了，有可能共線，還有可能某個端點在另外一條線段上。爲了判斷上述情況是否發生，還需要如下一段判斷一個點是否在一條線段上（不含端點）的代碼：

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//判斷一個點P是否在一條線段a1a2上
bool OnSegment(Point p,Point a1,Point a2)
{
return dcmp(Cross(a1-p,a2-p))==0&&dcmp(Dot(a1-p,a2-p));
}

//判斷一個點P是否在一條線段a1a2上
bool OnSegment(Point p,Point a1,Point a2)
{
    return dcmp(Cross(a1-p,a2-p))==0&&dcmp(Dot(a1-p,a2-p));
}

多邊形

計算多邊形的面積。如果多變形是凸的，可以從第一個頂點出發把凸多邊形分成n-2個三角形，然後把面積加起來。代碼如下：

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//計算多邊形的面積
double ConvexPolygonArea(Point* p,int n)
{
double area=0;
for(int i=1;i<n-1;i++)
area+=Cross(p[i]-p[0],p[i+1]-p[0]);
return area/2;
}

//計算多邊形的面積
double ConvexPolygonArea(Point* p,int n)
{
    double area=0;
    for(int i=1;i<n-1;i++)
    area+=Cross(p[i]-p[0],p[i+1]-p[0]);
    return area/2;
}

可以另取p[0]點爲劃分頂點，一方面可以少算兩個叉積，另一方面也減少乘法溢出的可能性，還不用特殊處理。代碼如下：

[cpp] view plain copy print ?

double PolygonArea(Point* p,int n)//p是一個結構體數組
{
double area=0;
for(int i=1;i<n-1;i++)
area+=Cross(p[i]-p[0],p[i+1]-p[0]);
return area/2;
}
int main()
{
Point a[4];
a[0].x=0;
a[0].y=0;
a[1].x=3;
a[1].y=0;
a[2].x=3;
a[2].y=3;
a[3].x=0;
a[3].y=3;
double area=PolygonArea(a,4);
printf("%lf",area);
return 0;
}

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