圖的應用
1.最小生成樹（研究問題：N個村莊修路連通，怎樣花銷最小讓N個村莊連通）
一個連通圖的生成樹是該圖的極小連通子圖，通常爲帶權無向圖
包含所有頂點，儘量少的邊。
刪除一條邊則變爲非連通圖，增加一條邊則會產生迴路。
特點：
1.最小生成樹不唯一，但該無向連通圖中無相同權值邊則最小生成樹唯一；
2.最小生成樹的權值之和唯一，即代價唯一；
3.該樹頂點數爲該連通圖結點個數n，所有該生成樹邊爲n-1。
常用生成樹算法：
1.prim算法
2.Kruskal克魯斯卡爾算法
兩種算法都屬於貪心算法。這也說明了生成樹不唯一。
注：帶權連通圖的任一一個環中所包含的權值均不相同（充分不必要條件），則最小生成樹唯一；
1.1prim算法
1.初始結點並加入頂點集U中；
2.遍歷頂點集U中頂點，取指到向下一頂點的權值最小邊且不造成迴路，並將該下一頂點加入頂點集；
3.循環2直到所有頂點加入頂點集。
//V爲結點集合
void Prim(G,T){
T=null;
U={v1};
while(U!=V){
edge,next_v =find_min_nextnode(U,V-U);//找到U中頂點到V-U中頂點最小邊
T+=edge;//該邊加入最小生成樹
U+=next_v;//對應結點加入U集合
}
}
//時間複雜度O(V^2),不依賴E
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1.2Kruskal算法
1.初始化所有邊爲堆
2.堆查找最小權值邊，且不構成迴路；並在堆集合刪除該邊；故選擇最小權值邊時間複雜度爲O(logE)
3.循環2直至連通分量數爲0，也就是T中邊樹爲n-1;
//按權值遞增的次序選擇小而合適的邊構造最小生成樹
void Kruskal(G.V,T){
T = V;
numS = n;//連通分量數
while(numS > 1){
min_e = find_min_E(E);
if(該邊在剩餘堆集合中會構成迴路){
T+=min_e;
numS--;
}
}
}
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1.3破圈法
2.最短路徑（a村莊到b村莊所花最小開銷到達的路徑）
最短路徑一定爲簡單路徑，即路徑中結點不重複。
對於無權圖而言，兩點之間邊數最少的路徑爲最短路徑；可用廣度優先搜索查找最短路徑；
對於有權圖（可有向可無向），兩點之間帶權路徑最短的爲最短路徑；
求解有權圖最短路徑的算法：
Dijkstra迪傑斯拉算法：求帶權有向圖的指定某一頂點到其他個個頂點的的最短路徑，即求單源最短路徑；
Floyd弗洛伊德算法：求帶權有鄉土所有頂點的之間的最短路徑；
2.1Dijkstra算法
求某一頂點到其他個個頂點的的最短路徑，即求單源最短路徑；算法基於貪心策略，主體部分爲一個雙重循環，時間複雜度爲O(V^2),
若要使用Dijkstra求解所有頂點之間的最短路徑則指定V每一結點各使用一便Dijkstra算法。時間複雜度爲O(V^3)，故dijkstra認爲可以求解每對頂點之間的最短路徑問題
注：Dijkstra不適用帶負權值的圖
算法思想：
集合S,先後順序存放求得最短路徑的結點
1）初始化：S={0}，0爲V0源點結點,dist[i] =G.arcs[0]i]，i=1,2,… //V0到Vi結點的當前最短距離，限制爲1步；
2）從V-S中選出結點Vj,Vj=Min{dist[i]|Vi屬於V-S中}，選取當前限制步速到達結點中距離最短的結點加入S集合中,S=S+{j},即該輪得到最短路徑的結點
3）限制步速+1，更新使V0結點限制步速到達任一結點的最短路徑，dist[j]+G.arcs[j]k]<dist[k].則更新dist
4)重複2）3）操作n-1輪，直到所有結點包含在S中
注：Dijkstra求最短路徑的“權值最小”和prim求最小生成樹的“權值最小”的區別
Prim求最小生成樹的“權值最小”是U集合中點到V-U集合中點的最小權值邊；
最小生成樹問題的圖爲帶全無向圖。 ·
而Dijkstra求最短路徑的“權值最小”是源點到結點的的路徑權值最小，即始終相對於選取的原點V0限制步速到指定結點的路徑之和權值最小。
最短路徑問題的圖可爲無向也可爲有向。
最短路徑例題：
[外鏈圖片轉存失敗(img-gUxRCug5-1568732822110)(F:\Tim\1094201572\MobileFile\Dijkstra_example.jpg)]
Dijkstra算法過程：
[外鏈圖片轉存失敗(img-hHTE9NDI-1568732822111)(F:\Tim\1094201572\MobileFile\Dijkstra_example2.jpg)]
依次求出1到5，4，2，3的最短路徑
1-5：5；
1-5-4：7；
1-5-2：8；
1-5-2-3：9；
2.2Floyd算法
算法描述：
定義個n階方陣序列A(-1),A(0),…,A(n-1),其中A(-1)爲初始圖 的鄰接矩陣arcs[i]-[j]；
A(k)[i]-[j] = Min{A(k-1)[i]-[j],A(k-1)[i]-[k]+A(k-1)[k]-[j] }
時間複雜度爲O(V^3).
Floyd允許圖中帶負權值的邊，但不允許負權值邊構成迴路。而Dijkstra不適用帶負權值的圖。
[外鏈圖片轉存失敗(img-VTf7jDAX-1568732822124)(F:\Tim\1094201572\MobileFile\floyd.jpg)]
3.拓撲排序（
求解AOV網問題，有向無環圖DAG圖，頂點表示活動，邊表示活動與活動之間存在聯繫；
金典研究問題：學生專業選課，頂點爲課程，邊爲課程之間的關係，先修什麼再修什麼，拓撲排序給出結果,
即需要先完成什麼才能繼續幹什麼；
）
算法思想：
1.從有向無環圖中選擇一個沒有前驅的頂點-即該頂點入度爲0的頂點-輸出；
2.從圖中刪除該頂點和所有以它爲起點的有向邊；
3.重複1，2直到該有向無環圖爲空或當前不存在無前驅的頂點爲止，後者情況說明該有向圖存在環，拓撲排序失敗。
bool TopoSort(Graph G){
InitStatck(S); //使用存放入度爲0的頂點，也可使用隊列，不一定要使用棧；
V v = find_indegree_equ_zero(G);
Push(S,v);
while(!IsEmpty(S)){ //O(V+E) ,V爲遍歷的頂點，E爲每個頂點所需刪除的邊即需修改下一頂點的入度次數
Pop(S,temp_v);
print(temp_v)；count++; //輸出該結點並計數；
reduce_nextv_indegree(temp_v,1);//下一節點
V v = find_indegree_equ_zero(G);
Push(S,v);
}
if(count < sum(G.V)) return false; //拓撲排序失敗，圖中存在迴路；
else return true;//拓撲排序成功，該圖爲AOV網；
}
算法時間複雜度度爲O(V+E);
工程問題中：
1）入度爲0的頂點爲，這個工程開始活動或繼續活動，即該活動沒有前驅活動或該活動的前驅活動已完成；
2）若活動線性有向排列，則拓撲排序唯一；例 1->2->3，拓撲排序123 注：活動線性有向排列 是 拓撲排序唯一 的充分不必要條件；
3）若一個有向圖具有有序的拓撲排序序列，則它的鄰接矩陣必定爲三角矩陣；（按照拓撲排序的結果重新安排頂點的序號，生成的新的鄰接矩陣爲三角矩陣；）
一般的圖，其鄰接矩陣爲三角矩陣**（充分不必要條件）**，則存在拓撲排序；反之不然；
4.關鍵路徑（
求解AOE網問題，帶權有向圖，頂點表示事件，邊表示活動；
解決問題：
1）完成整個項目工程至少需要多少時間（關鍵路徑）？
2）爲縮短完成工程的時間，應加快哪些活動(AOE中的邊)? 或者說哪些活動是影響工程的關鍵？
）
完成整個工程所需的時間取決於從源點到匯點的最長路徑長度，即在這條路徑上所有活動的花費之和。這條路徑長度最長的路徑就叫做關鍵路徑(Critical Path)。
關鍵路徑上的花費即完成該工程項目至少需要的時間，即整個項目的完成時間(時間最長)，即最早完成時間（書上說法）；
1.事件的最早發生時間(到達該事件至少需要多少時間，即到達該事件最久時間)
V源=0；
Ve(k)=Max{Ve(j)+w(Vj,Vk)} 注:計算Ve(k)按從前往後順序計算
2.事件的最遲發生時間(最遲發生+與下一事件活動時間爲下一事件的最早發生時間)
Vl(匯點)=Ve(匯點);
Vl(j)=Min{Vl(k)-w(Vj,Vk)} 注：計算Vl(j)按從後往前順序計算
3.活動的最早開始時間
活動的起點表示的事件的最早發生時間e(i)=Ve(k);
4.活動的最遲開始時間
活動終點所表示的事件的最遲發生時間與該活動之差l(i)=Vl(j)-w(Vk,Vj),<Vk,Vj>表示活動ai;
5.活動完成的時間餘量
d(i)=l(i)-e(i); 若一個活動的時間餘量爲0，則說明該活動ai爲關鍵活動，不如期完成會影響整個工程的進度；
注：
1）構造關鍵路徑需要拓撲排序
2）關鍵活動的最早開始時間與最晚開始時間相等
具體實例：
[外鏈圖片轉存失敗(img-3v1S9xpY-1568732822125)(F:\Tim\1094201572\MobileFile\關鍵路徑.jpg)]
關鍵路徑（v1,v3,v4,v6) 關鍵路徑上的活動有a2，a5,a7