編程之美讀書筆記之2.16求數組中最長遞增子序列

1.自己的解題思路是用動態規劃的思想，從後往前遍歷

定義f(x)表示以a[x]爲最小元素的最長遞增子序列的長度；則f(n-1)=1;

f(i) = 1,如果對於任意的j>i有 a[i]>=a[j];

f(i)=1+f(j),其中j滿足a[i]<a[j];，且是滿足j>i所有j中最小的一個。

實現代碼如下：

int Solute1(vector<int> &Vec)
{
    int maxLength = 1;
    int *tempArrayp = new int[Vec.size()]();


    for(int i=Vec.size()-1 ; i>=0 ; i--){
        tempArrayp[i] = 1;
        for(int j=i+1 ; j<Vec.size() ; j++){
            if(Vec[i] < Vec[j]){
                tempArrayp[i] = tempArrayp[j] + 1;
                if(tempArrayp[i] > maxLength){
                    maxLength = tempArrayp[i];
                }
                break;
            }
        }
    }
    delete []tempArrayp;
    return maxLength;
}

2.書中的解法一是從前往後遍歷，定義f（n）表示以a[n]爲最大元素的最長遞增子序列的長度。

f(n+1) = max{1,f(i)+1}，其中a[i]<a[n+1]，對於任意的i≤n；

實現代碼如下：

int Solute2(vector<int> &Vec)
{
    int maxLength = 1;
    int *tempArrayp = new int[Vec.size()]();

    for(int i=0 ; i<Vec.size() ; i++){
        tempArrayp[i] = 1;
        for(int j=i-1 ; j>=0 ; j--){
            if(Vec[i]>Vec[j] && tempArrayp[i]<tempArrayp[j]+1){
                tempArrayp[i] = tempArrayp[j] + 1;
                if(tempArrayp[i] > maxLength){
                    maxLength = tempArrayp[i];
                }
                //break;
            }
        }
    }
    delete []tempArrayp;
    return maxLength;
}

3.書中的改進算法，沒具體看實現，只是看了下思路，可能略有不同。

改進Solute2中第二個for循環，增加maxV數組，記錄滿足長度爲i的子序列的最大元素的最小值。

int Solute3(vector<int> &Vec)
{
    int *tempArrayp = new int[Vec.size()]();
    vector<int> maxV;

    maxV.push_back(0);

    for(int i=0 ; i<Vec.size() ; i++){
        tempArrayp[i] = 1;
        for(int j=maxV.size()-1 ; j>=0 ; j--){
            if(Vec[i]>Vec[maxV[j]]){
                tempArrayp[i] = tempArrayp[maxV[j]] + 1;
                if(tempArrayp[i]>maxV.size()-1){
                    maxV.push_back(i);
                }
            }

        }
    }
    delete []tempArrayp;
    return maxV.size();

}

三個算法的複雜度都是O（n^2），方法一和方法三比方法二查找次數少，方法三可以進一步用二分思想改進，複雜度達到O（nlgn）。