【動態規劃】【斜率優化】[BZOJ1010][HNOI2008]玩具裝箱toy

題目描述

P教授要去看奧運，但是他舍不下他的玩具，於是他決定把所有的玩具運到北京。他使用自己的壓縮器進行壓縮，其可以將任意物品變成一堆，再放到一種特殊的一維容器中。P教授有編號爲1…N的N件玩具，第i件玩具經過壓縮後變成一維長度爲Ci.爲了方便整理，P教授要求在一個一維容器中的玩具編號是連續的。同時如果一個一維容器中有多個玩具，那麼兩件玩具之間要加入一個單位長度的填充物，形式地說如果將第i件玩具到第j個玩具放到一個容器中，那麼容器的長度將爲 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 製作容器的費用與容器的長度有關，根據教授研究，如果容器長度爲x,其製作費用爲(X-L)^2.其中L是一個常量。P教授不關心容器的數目，他可以製作出任意長度的容器，甚至超過L。但他希望費用最小.

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題目分析

我們通過觀察很容易可以得出一個O(n2) 的動態規劃算法我們令dp(i) 表示枚舉到第i位時的最優解，可以得到

dp(i)=min{dp(j)+(i−j−1+∑k=j+1iCk−L)2}

那麼我們令sum(i) 表示從∑ij=1Cj 那麼我們可以轉換得到

dp(i)=min{dp(j)+(i−j−1+sum(i)−sum(j)−L)2}dp(i)=min{dp(j)+[i+sum(i)−(j+sum(j))−1−L]2}

那麼我們令t(i)=sum(i)+i 所以有

dp(i)=min{dp(j)+(t(i)−t(j)+1−L)2}

想要優化DP,我們先觀察這個dp(i)是否有單調性（如果有我們就可以斜率優化了）那麼我們對於當前狀態i我們只需要證明

dp(k)+(t(i)−t(k)+1−L)2>=dp(j)+(t(i)−t(j)+1−L)2(k<j)

在當前情況下，顯然我們選擇j策略，那麼如果當前狀態爲之後的某一個狀態那麼答案就變成了我們需要證明

dp(k)+(t(s)−t(k)−1−L)2>=dp(j)+(t(s)−t(j)−1−L)2

顯然我們需要證明的就是

(t(s)−t(k)−1−L)2>=(t(s)−t(j)−1−L)2

但是那不是顯然麼令−1−L=K,t(s)−t(i)=d

(t(i)+d−t(k)+K)2>=(t(i)+d−t(j)+K)22×d×(t(i)−t(k)+K)>=2×d×(t(i)−t(j)+K)K−t(k)>=K−t(j)t(k)<=t(j)

。。。那不是顯然麼。。。OK我們可以開始推

---

首先我們當前的狀態i 存在如果

dp(k)+(t(i)−t(k)+K)2>=dp(j)+(t(i)−t(j)+K)2(k<j)dp(k)+t(k)2−2t(i)t(k)−2Kt(k)>=dp(j)+t(j)2−2t(i)t(j)−2Kt(j)[dp(j)+t(j)2−2Kt(j)]−[dp(k)+t(k)2−2Kt(k)]2t(j)−2t(k)<=t(i)

那麼我們維護隊首和隊尾滿足該性質，然後。。。coding

代碼

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 50000;
LL t[MAXN+10], dp[MAXN+10], K;
int que[MAXN*10+10], l, r, C[MAXN+10], L;
double getk(int k, int j){return 1.0*(dp[j]+t[j]*t[j]-2*K*t[j]-dp[k]-t[k]*t[k]+2*K*t[k])/(2.0*t[j]-2.0*t[k]);}
int main(){
    int n;
    scanf("%d%d", &n, &L);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d", &C[i]);
        t[i] = t[i-1] + C[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) t[i] += i;
    K = -1-L; dp[r++] = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(r-l>1&&getk(que[l], que[l+1])<=t[i]) l++;
        dp[i] = dp[que[l]] + 1LL * (t[i]-t[que[l]]+K) * (t[i]-t[que[l]]+K);
        while(r-l>1&&getk(que[r-1], i) < getk(que[r-2], que[r-1])) r--;
        que[r++] = i;
    }
    cout<<dp[n]<<endl;

    return 0;
}