CLRS 12.2查詢二叉搜索樹

12.2-1
其中 c,e 不是查找過的序列。

12.2-2
直接給代碼

struct BinTree
{
    int key;
    BinTree *parent;
    BinTree *left;
    BinTree *right;
};

BinTree *TREE_MINIMUM(BinTree *root)
{
    if(root == NULL)
        return root;
    if(root->left == NULL)
        return root;
    else return TREE_MINIMUM(root->left);
}

BinTree *TREE_MAXIMUM(BinTree *root)
{
    if(root == NULL)
        return root;
    if(root->right == NULL)
        return root;
    else return TREE_MAXIMUM(root->right);
}

12.2-3
直接上代碼

struct BinTree
{
    int key;
    BinTree *parent;
    BinTree *left;
    BinTree *right;
};

BinTree *TREE_PREDECESSOR(BinTree *p)
{
    if(p == NULL)
        return p;
    if(p->left != NULL)
        return TREE_MAXIMUM(p->left);
    BinTree *x = p->parent;
    while(x != NULL && p = x->left)
    {
        p = x;
        x = x->parent;
    }
    return x;
}

12.2-4
如圖，查找5，則 A={3},B{1,4,5},C=⊘ ，取a=3,b=1,c=⊘ ，顯然不是 a≤b≤c 。

12.2-5
如果一個結點有兩個孩子，那麼它的後繼一定是右子樹種的最左結點，既然是最左結點，肯定沒有左孩子。由對稱知前驅沒有右孩子。

12.2-6
我們需要證明：y 的左孩子是 x 的祖先，並且是最底層祖先。
1) y 的左孩子也是 x 的祖先
假設 y 的左孩子不是 x 的祖先，則說明 y 和 x 爲根的子樹不互相包含，因此這兩棵子樹有一個公共節點 z ，則 z 一定夾在 x 和 y 之間，因此 y 不是 x 的後繼，與條件矛盾，因此 y 的左孩子也是 x 的祖先；
2) y 是 x 的最低祖先
假設 y 不是 x 的最低祖先，z 爲 x 的最低祖先，則 z 一定夾在 x 和 y 之間，因此 y 不是 x 的後繼，與條件矛盾，因此 y 是 x 的最低祖先。
得證。

12.2-7
這個做法和INORDER-TREE-WALK完全一樣，INORDER-TREE-WALK也是先找出最小值，然後依次找後繼。
這個算法是 Θ(n) 是因爲：
1) 每個結點至少要訪問一次，因此是 Ω(n) ；
2) 每條邊至多訪問 2 次，因此是 O(n) 。
證明每條邊至多訪問 2 次在此略過（提示：假設結點 u 和它的孩子結點 v ，唯一從上向下遍歷的是TREE-MINIMUM，唯一從下向上遍歷是查找一個結點後繼卻沒有右孩子時TREE-SUCCESSOR）。

12.2-8
參考練習12.2-7中每條邊至多訪問兩次進行證明（具體證明暫不會）。

12.2-9
1) x 是 y 的左孩子，則 x 是 y 的前驅，y.key 是樹 T 中大於 x.key 的最小關鍵字；
2) x 是 y 的右孩子，則 x 是 y 的後繼，y.key 是樹 T 中小於 x.key 的最大關鍵字；