重新理解“複數”

轉載自《線性代數及其應用導論》

複數

       由於所有實數的平方都非負，所以我們知道方程x² + 1 = 0在實數系統內無解。爲了使此方程有解，我們將引入一類新的數——複數。

       早在16世紀，人們已經用符號來提供表示方程x² + 1 = 0的解的方法，這個符號後來用字母i代替，它是一個虛構的、想像出來的數字，同時除了平方是-1之外，它也像所有的實數一樣參與代數運算並滿足這些運算的規則。例如，二次多項式可以進行如下因式分解：

x² + 1 = x² - i² = (x - i)(x + i).

另外，我們也用x = i以及x = -i來表示方程x² + 1 = 0的解，而不管它的具體意義是什麼。我們稱諸如2 + 3i的表達式爲複數(complex number)。一開始，人們僅僅是純形式化的使用複數，直到300年後，纔開始使用符合現代標準的方式來定義它們。

       在19世紀早期，Carl Friedrich Gause(1777-1855)和William Rowan Hamilton(1805-1865)幾乎同時且相互獨立地提出使用被賦予了某些特殊性質的有序實數對(a, b)來表示複數的思想。現在複數的這種表示方法已經被廣泛接受。