每日一題(81) - 子數組之和的最大值(二維) - 最大子矩陣和

題目：給出一個 m*n 的二維矩陣(元素可爲正可爲負)，求該二維矩陣的一個子矩陣，且此子矩陣中所有元素的和最大，並輸出該矩陣的和。

舉例(1)

給出4*4的二維矩陣：

 0 -2 -7  0
 9  2 -6  2
-4  1 -4  1
-1  8  0 -2

和最大的子矩陣爲：

 9 2 

-4 1 

-1 8 

此子矩陣元素的和爲15。

舉例(2)

給出3*4的二維矩陣：

 -1  -2  -3  -4 
 -5  -6  -7  -8 
 -9 -10 -11 -12 

和最大的子矩陣爲：

-1

此子矩陣元素的和爲-1。

思路:枚舉矩陣，把子矩陣轉化爲一行，利用最大子數組和的方法求解

方法：

假設f(i,j)表示以第i行開始，到第j行結束的矩陣中子矩陣的最大和

爲了求f(i,j),我們對這個矩陣(第i行開始，到第j行結束的矩陣)進行處理：

(1)把這個矩陣中的每一列數相加,最後形成一個一維數組，其長度等於原二維數組列的個數。

(2)在該一維數組上，求解最大子數組和。

代碼：求解最大子矩陣和

#include <iostream>
#include <assert.h>
using namespace std;
/*最大子數組之和*/
int MaxSubSum(int nArr[],int nLen)
{
	assert(nArr && nLen > 0);
	int nMaxSum = nArr[0];
	int nCurSum = nArr[0];
	for (int i = 1;i < nLen;i++)
	{
		if (nCurSum < 0)
		{
			nCurSum = nArr[i];
		}
		else
		{
			nCurSum += nArr[i];
		}
		nMaxSum = max(nCurSum,nMaxSum);
	}
	return nMaxSum;
}
/*把原矩陣第i行和第j行之間元素進行壓縮，形成一個一維數組*/
void GetColSum(int** pnArr,int* pTmpArr,int nXLen,int nYLen,int nStartRow,int nEndRow)
{
	assert(pnArr && *pnArr && pTmpArr && nXLen > 0 && nYLen > 0);
	assert(nStartRow >=0 && nStartRow < nXLen);
	assert(nEndRow >=0 && nEndRow < nYLen);
	memset(pTmpArr,0,sizeof(int) * nYLen);
	for (int j = 0;j < nYLen;j++)
	{
		for (int i = nStartRow;i <= nEndRow;i++)
		{
			pTmpArr[j] += pnArr[i][j];
		}
	}
}
/*枚舉二維數組，壓縮成一維數組，求解最大子數組和*/
int MaxSubMatrixSum(int** pnArr,int nXLen,int nYLen)
{
	assert(pnArr && *pnArr && nXLen > 0 && nYLen > 0);
	int nMaxSum = -0x3f3f3f3f;
	int* pTmpArr = new int[nYLen];
	int nCurSum = -0x3f3f3f3f;
	for (int i = 0;i < nXLen;i++)
	{
		for (int j = i;j < nXLen;j++)
		{
			//計算每列元素和
			GetColSum(pnArr,pTmpArr,nXLen,nYLen,i,j);
			//求最大子數組和
			nCurSum = MaxSubSum(pTmpArr,nYLen);
			nMaxSum = max(nCurSum,nMaxSum);
		}
	}
	return nMaxSum;
}
int main()
{
	int nXLen = 0;
	int nYLen = 0;

	cin>>nXLen>>nYLen;
	int** pnArr = new int*[nXLen];
	for (int i = 0;i < nXLen;i++)
	{
		pnArr[i] = new int[nYLen];
		for (int j = 0;j < nYLen;j++)
		{
			cin>>pnArr[i][j];
		}
	}
	cout<<MaxSubMatrixSum(pnArr,nXLen,nYLen)<<endl;
	system("pause");
	return 1;
}

問題：在上面的程序中，由二維子矩陣壓縮成一維矩陣時，直接對子矩陣中某列所有元素全加在一起得到，效率低啊。時間複雜度O((m*n)^2)

優化：給出一個二維子矩陣，爲了更快地求出其對應的一維矩陣，我們可以使用二維數組sum[x][y]預先保存第y列，從第0行到第x行之間元素之和。

此時，我們要求第i行開始，到第j行結束的矩陣對應的一維矩陣時，可有sum[j][t] - sum[i - 1][t],t屬於[0,n]得到.

此時，時間複雜度爲O(m*m*n)

代碼：求解最大子矩陣和

#include <iostream>
#include <assert.h>
using namespace std;

/*最大子數組之和*/  
int MaxSubSum(int nArr[],int nLen)  
{  
	assert(nArr && nLen > 0);  
	int nMaxSum = nArr[0];  
	int nCurSum = nArr[0];  
	for (int i = 1;i < nLen;i++)  
	{  
		if (nCurSum < 0)  
		{  
			nCurSum = nArr[i];  
		}  
		else  
		{  
			nCurSum += nArr[i];  
		}  
		nMaxSum = max(nCurSum,nMaxSum);  
	}  
	return nMaxSum;  
}  

/*把原矩陣第i行和第j行之間元素進行壓縮，形成一個一維數組*/
void InitSumArr(int** pnArr,int** pnArrColSum,int nXLen,int nYLen)
{
	assert(pnArr && *pnArr && pnArrColSum && *pnArrColSum);
	assert(nXLen > 0 && nYLen > 0);
	for (int i = 0;i < nXLen;i++)//橫座標
	{
		for (int j = 0;j < nYLen;j++)//縱座標
		{
			pnArrColSum[i][j] = 0;
			for (int t = 0;t <= i;t++)
			{
				pnArrColSum[i][j] += pnArr[t][j];
			}
		}
	}
}
/*枚舉二維數組，壓縮成一維數組，求解最大子數組和*/
int MaxSubMatrixSum(int** pnArr,int** pnArrColSum,int nXLen,int nYLen)
{
	assert(pnArr && *pnArr && pnArrColSum && *pnArrColSum);
	assert(nXLen > 0 && nYLen > 0);
	int nMaxSum = -0x3f3f3f3f;
	int nCurSum = -0x3f3f3f3f;
	int* pTmpArr = new int[nYLen]; 
	for (int i = 0;i < nXLen;i++)
	{
		for (int j = i;j < nXLen;j++)
		{
			if (i == 0)
			{
				for (int t = 0;t < nYLen;t++)
				{
					pTmpArr[t] = pnArrColSum[j][t];
				}
				nCurSum = MaxSubSum(pTmpArr,nYLen);
				nMaxSum = max(nCurSum,nMaxSum);
			}
			else
			{
				//計算每列元素和,並求最大子數組之和
				for (int t = 0;t < nYLen;t++)
				{
					pTmpArr[t] = pnArrColSum[j][t] - pnArrColSum[i - 1][t];
				}
				nCurSum = MaxSubSum(pTmpArr,nYLen);
				nMaxSum = max(nCurSum,nMaxSum);
			}
		}
	}
	return nMaxSum;
}
int main()
{
	int nXLen = 0;
	int nYLen = 0;

	cin>>nXLen>>nYLen;
	int** pnArr = new int*[nXLen];
	int** pnArrColSum = new int*[nXLen];
	for (int i = 0;i < nXLen;i++)
	{
		pnArr[i] = new int[nYLen];
		pnArrColSum[i] = new int[nYLen];
		for (int j = 0;j < nYLen;j++)
		{
			cin>>pnArr[i][j];
		}
	}
	InitSumArr(pnArr,pnArrColSum,nXLen,nYLen);
	cout<<MaxSubMatrixSum(pnArr,pnArrColSum,nXLen,nYLen)<<endl;
	system("pause");
	return 1;
}

數據輸入：

4 4

 0 -2 -7  0 
 9  2 -6  2 
-4  1 -4  1 
-1  8  0 -2 

輸出：15

這裏不再給出求子矩陣區間的代碼。