一個非常經典的問題，適合測試思維～
車羊問題（Car and Goats problem）又叫蒙提霍爾問題(Monty Hall Problem)或三門問題。這個問題來源於美國電視娛樂節目Let’s Make a Deal,問題的名字則來自該節目的主持人蒙提·霍爾(Monty Hall)。問題是這樣的：參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門就可以贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。當參賽者選定了一扇門，但未去開啓它的時候，節目主持人會開啓剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。明確的限制條件如下：參賽者會被問是否保持他的原來選擇,還是轉而選擇剩下的那一道 那麼換與不換，哪種策略答對的機率高呢。
這個問題很有意思，第一次是在一篇博客中看到的，後來看到有同學在高盛的面經中也提到了同樣的問題（選某一顏色的球）。這個問題和同學討論了很多次，但是也沒有達成一致，甚至有時候越深入想，越迷惑。換不換不都是1/2嗎？這是最困惑的地方。。。
思路一：逆向思考：
如果主持人問你換不換的時候，你堅決不換，你參加了1000次，主持人問了你1000次，你都說我不換。那好，主持人給你的提示對你沒有影響，也就是說，主持人開剩下的兩道門之一，對你沒有任何影響。什麼意思呢？就是你做的事情就是三選一，那你1000次參加，大概你能中獎333次。不換的結果就是中獎概率是三分之一。
所以你換的話，就是2/3的概率中獎。這是從反面來推測的。
思路二，直接法，等價推轉換。我覺得這種理解最好。。
還是假設你參加了1000次這樣的活動吧，我們把問題這樣轉換以下會變得非常有意思。你選了三張門中的一個，現在主持人問你：給你一次機會，你可以放棄你手裏的一張門，而選我這邊的兩扇門（兩扇門都歸你，後面有可能有一車一羊，或兩隻羊），不過你得把你這兩扇門後的一隻羊給我，你換不換？
換，當然換，每次可以選兩張門，這樣概率是多大，當然是2/3了。
思路三 什麼情況下1/2，爲什麼有人覺得1/2，爲什麼這裏不是1/2？？
很多猶豫的人是在想，爲什麼不是1/2？因爲排除了一個羊了，剩下的兩個選擇應該是1/2。那我們討論以下爲什麼不是1/2，怎樣纔會是1/2呢？
當你選了之後，主持人排除了一張門（比如說3號，你選的是1號），那你現在在1號和2號中間做選擇。如果你不知道換不換，你決定投硬幣決定（也即重新隨機選擇），正面你選1，反面你選2. 那這種情況下，你中車的概率就是1/2. 可是如果說你不投硬幣，而是每次（重複1000次）都不換，那跟你三選一有什麼分別呢？那麼你中獎的概率是1/3.
思路四：列等概率表
這裏等概率非常的關鍵。
假設門的號碼是1，2，3，車出現在門後都是等概率的1/3. 選手第一次選擇是等概率的。主持人是見機行事的，因爲他依據選手的選擇總能在剩下的門後面選一張有羊的。這裏不列主持人的提示情況，一共列出3（選手的選擇）X 2（換與不換） X 3（車的分佈）= 18 （種情況）
數數換的情況中獎的概率2/3.。。不換1/3.。。。
表格中應該是18種情況，共36次實驗（考慮主持人提示的情況，即每行是兩次）
| 第一次選擇 | 車的分佈 | 換與不換 | 最終選擇 | 是否中獎 |
| 1 | 1 | 是 | 2/3 | 否 |
| 2 | 1 | 是 | 1 | 是 |
| 3 | 1 | 是 | 1 | 是 |
| 1 | 1 | 否 | 1 | 是 |
| 2 | 1 | 否 | 2 | 否 |
| 3 | 1 | 否 | 3 | 否 |
| 1 | 2 | 是 | 2 | 是 |
| 2 | 2 | 是 | 1/3 | 否 |
| 3 | 2 | 是 | 2 | 是 |
| 1 | 2 | 否 | 1 | 否 |
| 2 | 2 | 否 | 2 | 是 |
| 3 | 2 | 否 | 3 | 否 |
| 1 | 3 | 是 | 3 | 是 |
| 2 | 3 | 是 | 3 | 是 |
| 3 | 3 | 是 | 1/2 | 否 |
| 1 | 3 | 否 | 1 | 否 |
| 2 | 3 | 否 | 2 | 否 |
| 3 | 3 | 否 | 3 | 是 |
先想到了這些～這些是我個人的一些思考，在數學上有的地方是不嚴密的。
後續：
有很多人留言說，是1/2，我上面的分析不嚴密。他們說的並無道理，但我還是始終同意2/3的答案。實際上這個問題我和我同學就一直沒有清楚的達成一致，而且當時這個問題在美國電視播出後甚至有博士發信反駁換是兩倍概率的這個答案。這裏我引用一段matrix67的博客：（原文在這裏）
一個叫S.K.Stein的人寫過一本書，名字叫Strength in Numbers。書裏面談到數學家們如何一步步解決問題的時候引用了這個Monty Hall Dilemma問題。他在書中這樣說道： If, after thinking some more about the question, you still are not sure about the answer and are not ready to explain it, then do the following. (Keep
in mind that just citing experimental data is not an explanation. The data may convince you that something is true, but they do not explain it.)
Get one more canister and perform a similar experiment, using four canisters instead of three. Put a wad of paper in one canister. After your friend chooses a canister, look in the remaining three and show the friend two empty canisters. The friend then
faces a choice between the two other canisters. Carry out the same experiments as before. Think over the results you get. What do they suggest? Do you see a way to explain what happens?
Performing these experiments not only gives you some clues, it also slows you down from the common frenzy of everyday life, so you can focus on just one thing for a period of time.
If you still do not see how to explain what is going on, then use ten can- isters. Put the wad in one of them. After your friend chooses a canister, look in the other nine. Show your friend eight empty canisters out of those nine and remove all eight. Again
that leaves just two canisters. Conduct a similar experiment.
I am confident that you will solve this problem, so confident that I do not include the answer anywhere in the book, not even in fine print upside down hidden in the back matter. You mill probably, along the way, calculate the fraction of times that switching
will pick the car and the fraction of times that not switching will pick the car. Using these fractions, you will be able to explain the brainteaser completely. Then you will have to admit that you can think mathematically. You just needed the opportunity.
簡單地說，Stein想表達這樣一個意思。他建議那些還想不到Monty Hall Dilemma問題的答案的人別忙用數學方法去解，先親自做幾次試驗來進行一些感性的認識。叫一個朋友當遊戲裏的主持人，在三個罐子中的其中一個裏放一個東西。多玩幾次，用心體會。如果做了試驗還沒有啓發，那麼他提出了這樣一個非常具有啓發性的試驗的變形：規則不變，只是把三個罐子改成四個罐子。你的朋友會在你選擇了一個罐子後打開另外兩個空的罐子，再問你是否換一個。如果還沒有一點啓示，乾脆把四個罐子變成十個。如果你真這麼做了還沒有一點想法那你就徹底地傻了。想想看，假如遊戲中三個門變成了十個門，隨便選一個選中車的機會將更渺茫。在主持人打開了另外八扇有羊的門後，你不換你肯定傻了。要是是我，我肯定會毫不猶豫要求換成另一個門。是啊，隨着羊一隻又一隻的跑出來，我肯定會越來越激動，心想，那剩下的那個門裏肯定是車了。這裏有一個很基本的想法：我開先如果選的羊，換了一下就變成車了；如果開先選的是車，換一個門就變成羊了。既然一開始選的多半是羊，我爲什麼不換呢？
根據這個思想，我們得到：在Monty Hall Dilemma問題中，第一次選中車的概率是1/3，顯然車在另一扇門的概率是2/3。因此，我換門將有2/3的機率拿到車，而不換則只有1/3的概率拿到車。
這個問題到這裏本來應該結束了，但還有一點疑問：爲什麼主持人打開一扇羊門會改變選擇的機率？其實道理很簡單，機率本身是沒有變的，只是因爲主持人在打開門時就有一個選擇。這導致了可能的情況減少。