bzoj 4609 [Wf2016]Branch Assignment（dp 凸優化（wqs二分）| 決策單調性優化）

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實際上給的單向邊而不是雙向邊，先處理出每個點到 $b + 1$ 的最短距離 $d_a$，$b + 1$ 到每個點的最短距離 $d_b$。 預處理權值 $s = d_a + d_b$，集合劃分後的每一個點的貢獻爲：$s[i] * (size - 1)$，其中 $size$ 爲劃分到的集合的大小。 顯然最優情況是值連續的劃分到一組，對 $s$ 進行排序，就可以在序列上做線性 dp。

考慮 $dp[i][j]$ 表示前 $j$ 個分成 $i$ 組的最小總距離。轉移方程爲 dp[k][i] = dp[k - 1][j] + (i - j - 1) * (sum[i] - sum[j]) ，總複雜度爲 $O(n^3)$，考慮優化：

1、不考慮選擇分 k 組這個限制，肯定儘可能多分組最優，給每個分組加上一個代價 $x$，每分一次組都要加上 $x$ 的代價，顯然 $x$ 越大，最優解的分組數越少， $x$ 越小， 最優解的分組數越大，滿足單調性，考慮二分這個代價 $x$，然後做沒有限制的 dp 的複雜度是 $O(n^2)$，二分的右邊界要大一點，大到最優解可能只分一次組。（從凸包的角度考慮可能不容易看出）

2、由於權值比較小的點劃分到的 $size$ 肯定更大，決策具有單調性，利用這個單調性，當計算 dp[k][i] 時，轉移範圍只要枚舉 $[i - \lfloor\frac{i}{k}\rfloor, i - 1]$，因爲最後這一塊的大小肯定小於等於平均值， $k$ 次計算後，對於每一個 $i$，計算所有的 $dp[k][i]$ 的複雜度是 $i \log i$，最後總複雜度爲 $n^2\log n$，這個 $n^2\log n$ 沒有跑滿，因此跑得比較快。

由於決策轉移點具有單調性，還可以實現到 $O(n^2)$，且已經有 $n\log^2n$ 的做法 （都不會）

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wqs二分優化代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 5e3 + 10;
#define pii pair<int,int>
#define fir first
#define sec second
typedef long long ll;
const ll inf = 1e15;
int n,b,s,r,a[maxn],vis[maxn];
ll sum[maxn],d[maxn],t[maxn];
vector<pii> g[maxn],h[maxn];
ll dp[maxn],tp[maxn],lst[maxn];
void spfa1(int s) {
	queue<int> q;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		d[i] = inf;
	memset(vis,0,sizeof vis);
	d[s] = 0;
	q.push(s);
	while (!q.empty()) {
		int top = q.front();
		q.pop();
		vis[top] = 0;
		for (auto it : g[top]) {
			if (d[it.fir] > d[top] + it.sec) {
				d[it.fir] = d[top] + it.sec;
				if (!vis[it.fir]) {
					q.push(it.fir);
					vis[it.fir] = 1;
				}
			} 
		}
	}
}
void spfa2(int s) {
	queue<int> q;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		t[i] = inf;
	memset(vis,0,sizeof vis);
	t[s] = 0;
	q.push(s);
	while (!q.empty()) {
		int top = q.front();
		q.pop();
		vis[top] = 0;
		for (auto it : h[top]) {
			if (t[it.fir] > t[top] + it.sec) {
				t[it.fir] = t[top] + it.sec;
				if (!vis[it.fir]) {
					q.push(it.fir);
					vis[it.fir] = 1;
				}
			} 
		}
	}
}
ll solve(ll x) {
	for (int i = 0; i <= b; i++)
		dp[i] = inf, lst[i] = tp[i] = 0;
	dp[0] = 0;
	for (int i = 1; i <= b; i++) {
		for (int j = lst[i]; j < i; j++) {
			if (dp[j] + (i - j - 1) * (sum[i] - sum[j]) + x < dp[i]) {
				dp[i] = dp[j] + (i - j - 1) * (sum[i] - sum[j]) + x;
				tp[i] = tp[j] + 1;	
			} else if (dp[j] + (i - j - 1) * (sum[i] - sum[j]) + x == dp[i]) {
				if (tp[i] < tp[j] + 1)
					tp[i] = tp[j] + 1;
			}
		}
	}
	return tp[b];
}
int main() {
	scanf("%d%d%d%d",&n,&b,&s,&r);
	for (int i = 1; i <= r; i++) {
		int u,v,w; scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		g[u].push_back(pii(v,w));
		h[v].push_back(pii(u,w));
	}
	spfa1(b + 1); spfa2(b + 1);
	for (int i = 1; i <= b; i++)
		sum[i] = d[i] + t[i];
	sort(sum + 1,sum + b + 1);
	for (int i = 1; i <= b; i++)
		sum[i] += sum[i - 1];
	ll l = 0, r = 1ll << 48;
	while (l < r) {
		ll mid = l + r >> 1;
		if (solve(mid) < s) r = mid;
		else l = mid + 1;
	}
	solve(l - 1);
	printf("%lld\n",dp[b] - s * (l - 1));
	return 0;
}

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決策單調性優化：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 5e3 + 10;
#define pii pair<int,int>
#define fir first
#define sec second
typedef long long ll;
const ll inf = 1e15;
int n,b,s,r,a[maxn],vis[maxn];
ll sum[maxn],d[maxn],t[maxn];
vector<pii> g[maxn],h[maxn];
ll dp[maxn],tp[maxn];
void spfa1(int s) {
	queue<int> q;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		d[i] = inf;
	memset(vis,0,sizeof vis);
	d[s] = 0;
	q.push(s);
	while (!q.empty()) {
		int top = q.front();
		q.pop();
		vis[top] = 0;
		for (auto it : g[top]) {
			if (d[it.fir] > d[top] + it.sec) {
				d[it.fir] = d[top] + it.sec;
				if (!vis[it.fir]) {
					q.push(it.fir);
					vis[it.fir] = 1;
				}
			} 
		}
	}
}
void spfa2(int s) {
	queue<int> q;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		t[i] = inf;
	memset(vis,0,sizeof vis);
	t[s] = 0;
	q.push(s);
	while (!q.empty()) {
		int top = q.front();
		q.pop();
		vis[top] = 0;
		for (auto it : h[top]) {
			if (t[it.fir] > t[top] + it.sec) {
				t[it.fir] = t[top] + it.sec;
				if (!vis[it.fir]) {
					q.push(it.fir);
					vis[it.fir] = 1;
				}
			} 
		}
	}
}
ll solve() {
	for (int i = 0; i <= b; i++)
		tp[i] = dp[i] = inf;
	tp[0] = 0;
	for (int k = 1; k <= s; k++) {
		for (int i = 1; i <= b; i++) {
			for (int j = i - i / k; j <= i - 1; j++)		// i / k 是平均每個塊的大小 
				dp[i] = min(dp[i],tp[j] + (i - j - 1) * (sum[i] - sum[j]));
		}
		for (int i = 0; i <= b; i++)
			tp[i] = dp[i], dp[i] = inf;
	}
	return tp[b]; 
}
int main() {
	scanf("%d%d%d%d",&n,&b,&s,&r);
	for (int i = 1; i <= r; i++) {
		int u,v,w; scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		g[u].push_back(pii(v,w));
		h[v].push_back(pii(u,w));
	}
	spfa1(b + 1); spfa2(b + 1);
	for (int i = 1; i <= b; i++)
		sum[i] = d[i] + t[i];
	sort(sum + 1,sum + b + 1);
	for (int i = 1; i <= b; i++)
		sum[i] += sum[i - 1];
	printf("%lld\n",solve());
	return 0;
}