bzoj 3601: 一個人的數論（莫比烏斯反演 + 高斯消元 + 積性函數）

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題目要求的是 $f(n,d) = \displaystyle\sum_{i = 1}^n[gcd(i,n) = 1]i^d$

設 $h(x) = \displaystyle\sum_{i = 1}^n[gcd(i,n) = x]i^d$$H(x) = \displaystyle\sum_{x|p}h(p)$

（從貢獻角度）等價於 $H(x) = \displaystyle\sum_{i = 1}^n[x|gcd(i,n)]i^d$
根據莫比烏斯反演，$h(x) = \displaystyle\sum_{x | p}H(p)*\mu(\frac{p}{x})$，得到
$h(1) = \sum_{p = 1}^n\mu(p)*\displaystyle\sum_{i = 1}^n[p|gcd(i,n)]i^d$$h(1) = \sum_{p | n}\mu(p)*\displaystyle\sum_{i = 1}^{\frac{n}{p}}(ip)^d=\sum_{p | n}\mu(p)*p^d\displaystyle\sum_{i = 1}^{\frac{n}{p}}i^d$
到這一步似乎無法做下去了，因爲 n 特別大。此時只能根據題解大膽猜測，數據這麼大還給的是質因子分解的形式，可能要用積性函數來做，因爲積性函數滿足 $f(x * y) = f(x) * f(y) * [gcd(x,y) = 1]$，可以計算每一項質因子的貢獻最後乘起來得到答案。

觀察發現這個式子是一個接近卷積的形式，前兩個函數都是積性函數，根據經驗可以得知後面一個求和式是一個以 $\frac{n}{p}$ 爲自變量的 $d + 1$ 次多項式，但這個多項式並不是一個積性函數。

注意到要將整個式子湊成一個積性函數，右邊那個和式必須是一個以 $\frac{n}{p}$ 爲變量的積性函數，這樣整個式子可以湊成一個 Dirichlet 卷積，進一步根據題解大膽嘗試，將右邊$d + 1$ 以多項式的形式傳入參數 $\frac{n}{p}$ 代入得到：$h(1) =\sum_{p |n}\mu(p)*p^d\displaystyle\sum_{i = 0}^{d + 1}b_i*({\frac{n}{p}})^i$改變枚舉項，先枚舉 $i$，得到$h(1) =\sum_{i = 0}^{d + 1}b_i\sum_{p |n}\mu(p)*p^d\displaystyle({\frac{n}{p}})^i$

這個時候右邊那部分就是積性函數了，並且由於 $\mu(x)$ 函數的特性，每一項 $p_i^{a_i}$ 只有 1 和 pi 有貢獻，只要計算出這個多項式的所有係數 bi 就可以在規定時間內求解。

對於多項式求係數 bi 有兩種方法：拉格朗日插值多點插值，高斯消元

拉格朗日多點插值求解多項式係數還不會，且這裏 $d \leq 100$，採用高斯消元進行求解

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代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e3 + 10;
int k,w;
int p[maxn],a[maxn],b[maxn];
int x[maxn][maxn],y[maxn];
inline int read() {
	int x=0,f=1;char ch;
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}

inline int add(int x, int y) {
  	x += y;
  	if (x >= mod) {
    	x -= mod;
  	}
  	return x;
}

inline int sub(int x, int y) {
  	x -= y;
  	if (x < 0) {
    	x += mod;
  	}
  	return x;
}

inline int mul(int x, int y) {
  	return (long long) x * y % mod;
}
int fpow(int a,int b) {
	int r = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) r = mul(r,a);
		a = mul(a,a);
		b >>= 1;
	}
	return r;
}
void Gauss(int x[maxn][maxn],int y[maxn],int n) {
	for (int i = 0; i <= n; i++) {
		for (int j = 0; j < i; j++) {
			int tp = mul(fpow(x[i][i],mod - 2),x[j][i]);
			for (int k = 0; k <= n; k++) {
				x[j][k] = sub(x[j][k],mul(tp,x[i][k]));
			}
			y[j] = sub(y[j],mul(tp,y[i]));
		}
		for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
			int tp = mul(fpow(x[i][i],mod - 2),x[j][i]);
			for (int k = 0; k <= n; k++) {
				x[j][k] = sub(x[j][k],mul(tp,x[i][k]));
			}
			y[j] = sub(y[j],mul(tp,y[i]));
		}
	}
}
int main() {
	k = read(); w = read();
	for (int i = 1; i <= w; i++)
		p[i] = read(), a[i] = read();
	y[0] = 0;
	for (int i = 0; i <= k + 1; i++) {
		for (int j = 0; j <= k + 1; j++)
			x[i][j] = fpow(i,j);
		if (i > 0) y[i] = add(y[i - 1],fpow(i,k));
	}
	Gauss(x,y,k + 1);
	for (int i = 0; i <= k + 1; i++)
		b[i] = mul(y[i],fpow(x[i][i],mod - 2));
	int sum = 0, ans = 1;
	for (int i = 0; i <= k + 1; i++) {
		ans = 1; 
		for (int j = 1; j <= w; j++) {
			int res = 0;
			int t1 = fpow(p[j],a[j]), t2 = fpow(p[j],a[j] - 1);
			res = add(res,fpow(t1,i));
			res = sub(res,mul(fpow(t2,i),fpow(p[j],k)));
			ans = mul(ans,res);
		}	
		sum = add(sum,mul(b[i],ans));
	}
	printf("%d\n",sum);
	return 0;
}