微機原理（一）補碼 反碼 符號與幅值 符號拓展

前言 ´･ᴗ･`

• 二進制數有常見的三種表示方法（notation），也就是記法 ：（按照時間順序 發展歷程）
  • 符號與幅值
  • 反碼
  • 補碼
• 開發這三個抽象的玩意兒只是因爲解決
  • 正數 與 負數的表示問題
  • 正數 負數的運算問題（主要是加減 因爲其他運算從加減衍生出來）
• 下面我們來看看 這三個裝逼晦澀的東西到底有多簡單 不要慫 往下走

符號與拓展

我們想一下 區分正負數 最好的辦法就是加一個符號位
這就是 “符號與幅值表示法” 英文是sign and magnitude

• sign 符號
• magnitude 幅值

這樣的話 那8-bits 位寬舉例 符號位0爲正數 1爲負數：

• 0000 0011 = 3₁₀ — 10進制的3
• 1000 0011 = -3 ₁₀ – 10進制的-3
• 也就1~7位是幅值 第八位是符號位

這種方法比較直觀 但是沒法用
你試着加減一下 就發現需要很多工作要做
計算機性能就被拖累在每一次加減運算了

於是我們的先輩想了另一種方法：反碼

反碼

反碼的思路來源於 進行減運算的時候 一旦借位 前面的所有0 都變成1 1變成0
比如 我拿0（其實是正零 後面再說 現在來個劇透）舉例

• 0₁₀ - 1₁₀
• 0000 0000 - 0000 0001 需要借位 於是就
  • 1111 1110 = -1₁₀

發現沒有 這個計算機可以直接算 不需要像第一種方法有多餘的步驟

當然 計算機將所有運算都化爲 加法運算 所以：
實際上運算是這樣的：

• 0₁₀ + （-1）₁₀
• 0000 0000 + 1111 1110
  • 1111 1110 = -1₁₀

-1 就是 1 按位取反後的結果 這就是“反碼” 或者說“取x的反碼” 的含義 ：按位取反

由此 我們知道 反碼錶示法中（8位）：

• 最大的正數 0111 1111
• 絕對值最大的負數 1000 0000
• 絕對值最小的負數 1111 1111 = “負零” 0₁₀
• 絕對值最小的正數 0000 0000 = “正零” 0₁₀

不要想當然 第1~7位不再是“幅值” ，也就不是通過位權簡單加起來完事了的

但是反碼帶來很大的問題

• 沒有解決第一種方法的 兩個零問題（正零 負零）
• 運算不方便（你可以試試）

你發現 數的符號是確定的 但是如何進行二進制轉十進制 就變得比較麻煩
因爲第1~7位不再是“幅值” 需要補一個1纔行

這就是下一輪的改革：補碼

補碼

上過課的同學都知道 補碼錶示法中
我要想獲得一個數的負數（1與-1） 只需要先求那個數的反碼 再加1就行
其實實質上就是上面所說的 因爲反碼不靠譜 計算機識別數的大小很麻煩 而且還有雙零問題
所以我們加個1
僅此而已

這樣操作以後 我們發現 識別數字大小變的簡單 自然轉別的進制也變得簡單：
例如：

注意 符號位用的是負號

符號拓展

這裏針對補碼錶示法 也間接說明補碼的好處
所謂符號拓展 就是16位數轉爲32位（比自己位寬大的）的時候的運算套路
很明顯 多餘的位 也就17位到32位 都是沒有信息 自動補足的
我們看個例子：

這種有點無腦其實 直接用符號位補足第17~32位
原理就是 減法借位 前面的0都變成1 1都變成1 之前說了

總結 ´◡`

所謂 補碼 反碼 符號與幅值 就是三個解決正負數表示 運算的三個方法

名稱	實質	獲取負數形式方法
符號與幅值（sign and magnitude）	解決方法ver1.0	把某一位作爲符號位 然後符號位取反
反碼（one’s complement）	解決方法ver2.0	按位取反
補碼（two’s complement）	解決方法ver3.0	按位取反 再加1

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