超分辨率重建——病態、單應矩陣、高斯權重

我們經常會提到，超分辨率重建是一個病態問題，那麼這裏的病態該如何理解呢？

病態問題本身的定義是：對於一個數值問題本身，如果輸入數據有微小的擾動（即誤差），引起輸出數據（即問題的解）相對誤差很大，這就是病態問題。

設a爲輸入數據的相對誤差，b爲輸出數據的相對誤差，c爲條件數，c=b／a。自變量的相對誤差往往不會太大，如果c很大的話，將引起函數值相對誤差很大，這樣的問題就是病態問題。

對於超分辨率重建問題，輸入低分辨率圖像往往收到噪聲等干擾，在重建高分辨率的過程中，如果約束條件選取的不好，或者模型選擇不當的話，重建結果會有着很大的區別，所以可以看作病態問題。

另外最近還看到一個詞叫單應矩陣，這裏記錄一下：

說到單應矩陣，一般用於二維圖像中的變換，而這一變換是單應變換，有下面幾個概念（以下內容摘自知乎）

一、單應和齊次座標
給定一個3*3的單應矩陣H，給定一個點p1=[x1，y1，w1]T，H把p1變成一個新的點p2=[x2，y2，w2]T=Hp1，由於使用齊次座標，這兩個點對應圖像上的兩個點分別是(x1/w1，y1/w1)T，(x2/w2，y2/w2)T.

二、單應的自由度
如果給定一個單應H={hij}，給它的元素乘上同一個數，得到的的單應和作用相同，因爲新單應無非把齊次點p1變成了齊次點ap2，ap2和p2對應的圖像上的點相同。所以一個單應中只有8個自由元素，一般令右下角的那個元素h33=1來歸一化。

三、求解單應
8個未知數，需要8個方程來求解，之所以四對點能夠求解，是因爲一對點提供兩個方程。我們假設有兩個圖像上的點（x1，y1）T和(x2,y2)T,它們的齊次座標爲:(x1,y1,1)T和(x2,y2,1)T帶到上面的推倒裏可以得到：

x2=(x1h11+y1h12+h13)/(x1h31+y1h32+1)

y2=(x1h21+y1h22+h23)/(x1h31+y1h32+1)

把這兩個式子重新組織一下，得到等價的矩陣形式：

Au=v

其中：
A=[x1 y1 1 0 0 0 -x1x2 -x2y1,0 0 0 x1 y1 1 -x1y2 -y1y2]

u=[h11 h12 h13 h21 h22 h23 h31 h32]

v=[x2 y2 ]T

如果有四對不共線匹配點對，這個方程組就能夠壘到8行，存在唯一解，如果多於四對點，比如有n對點，方程就壘到2n行，用最小二乘法或SVD分解就可以求解H。

四、程序實現
由於點對中可能存在不少錯誤匹配，因此往往需要使用RANSAC算法剔除錯誤匹配點對，整個流程在OpenCV中已經集成爲函數 findhomography，輸入點對座標，輸出單應和一個標記哪些點是正確匹配哪些點是錯誤匹配的數組

作者：王小龍
鏈接：https://www.zhihu.com/question/23310855/answer/24931733
來源：知乎

最後一個問題，高斯權重：貼上一個鏈接，講的很好http://www.ruanyifeng.com/blog/2012/11/gaussian_blur.html