ANSYS 靜力分析實例 懸臂樑

一、前沿

  本文以力學中最簡單的懸臂樑受載爲例，介紹了採用 ANSYS 進行有限元分析的基本操作流程，並結合基礎的有限元知識，探討了有限元近似解的精度水平。

  本文還討論了單元類型、單元階次、積分方案、網格尺寸等對計算結果的影響。

  本文主要章節安排如下，第二部分介紹理論解答，第三部分介紹有限元建模的前處理部分，第四部分紹加載與求解、第五部分紹結果的後處理。

二、彈性力學解答

  懸臂樑自由端受豎向集中荷載作用時，其撓曲線方程的彈性力學解答爲：

$y = -\frac{F}{6EI}x^3 + \frac{Fl}{2EI}x^2+\frac{Fh^2}{8GI}x \tag {1}$

式中，$h$ 爲梁的高度；$G$ 爲剪切模量，可由彈性模量及泊松比計算得到。

  懸臂樑自由端受豎向集中荷載作用時，任意截面處最大彎曲正應力的材料力學一致爲：

$\sigma_{\rm max} = \frac{F(l-x)}{W} \tag {2}$

式中，$W$ 爲抗彎截面模量。

  懸臂樑的最大撓度出現在梁的自由端位置處，由由式 (1) 可計算得懸臂樑的最大撓度爲：

$y_{\max} = \frac{Fl^3}{3EI} +\frac{Flh^2}{8GI} \tag {3}$

  式 (3) 等號右側第一項就是我們熟悉的懸臂樑在豎向集中荷載作用下最大撓度的材料力學解答。顯然，第二項是剪切變形對梁撓度的貢獻。由此可見，梁任意位置處的撓度由彎曲變形和剪切變形兩部分構成，即：

$撓度 = 彎曲變形 +剪切變形 \tag {4}$

  該梁任意位置處因剪切變形產生的撓度與因彎曲變形產生的撓度比值爲：

$\frac{Flh^2 / 8GI}{Fl^3 / 3EI} = \frac{3h^2E}{8l^2G} = \frac{3h^2}{8l^2} \cdot 2 (1+ \nu) = \frac{3h^2}{4l^2} \cdot (1+ \nu) = \frac{3(1+ \nu)}{4} \cdot \frac{h^2}{l^2} \tag {5}$

  當 $h \ll l$ 時，上式趨近於 0，這說明當梁足夠細長時，因剪切變形產生的撓度可以忽略不計，即梁的撓度主要由彎曲變形引起，可見材料力學的解答具有一定的合理性，事實上，材料力學中所研究的梁就是要滿足跨高比大於10。

三、有限元解答

  懸臂樑長度爲 360 mm，其橫截面尺寸爲 H×B = 12 mm × 6 mm。材料爲鋼材，牌號爲 Q235B，其彈性模量爲 200 Gpa，泊松比爲 0.3。其端部承受集中荷載 F = 500 N，如下圖所示：

  本文以如上圖所示的懸臂樑爲例，分別採用梁單元、殼單元和實體單元建立其有限元模型，通過對比跨中位置處的撓度及固定端截面上的最大彎曲正應力，來說明不同建模方式對計算結果的影響。

  集中荷載施加在梁端部截面的形心位置處，因集中荷載作用處有很大的應力集中，附件的計算結果誤差相對較大，根據聖維南原理，跨中位置離開集中荷載作用點已足夠遠。因此，我們採用跨中位置處的豎向位移爲對比對象。

  在材料力學中，推導梁的彎曲正應力時，除了採用平截面假定外，還默認材料的泊松比爲 0，即認爲橫截面兩個方向上的變形相互獨立互不影響。因此，爲了能嚴格的和理論解答做對比，在有限元建模時，材料的泊松比設置爲 0。

  事實上，彈性力學給出的該懸臂樑的位移及應力解答也並不是實際情況下最精確沒有誤差的解答，因爲實際的應力場、位移場相當複雜，我們一旦合理的給出其假設形式，那麼在此基礎上得到的計算結果就已經偏離了理論上的精確解，只不過，此種解答誤差足夠小，我們能接受，就將其近似認爲是理論上的精確解。

FINISH
/CLEAR
                      ! Units: mm, N
    L    = 360        ! Length
    H    = 12         ! Height
    B    = 6          ! Width
    E    = 200000     ! Young’s modulus
    nu   = 0          ! Poisson’s ratio
    NumX = 60         ! Number of elements in x direction
    NumY = 4          ! Number of elements in y direction
    NumZ = 2          ! Number of elements in z direction
    F    = 500        ! Point load

3.1 梁單元建模

1. 前處理

2. 加載與求解

3. 後處理

3.2 平面應力/應變單元建模

1. 前處理

2. 加載與求解

3. 後處理

3.3 實體單元建模

1. 前處理

/PREP7

    BLOCK, 0, L, -H/2, H/2, -B/2, B/2    ! 創建六面體

    /VIEW,, 1, 1, 1                      ! 設置視圖
    VPLOT                                ! Plot Volumes

    ET, 1, SOLID185                      ! 185減縮積分單元
    KEYOPT,1,2,1

    ET, 2, SOLID185                      ! 185完全積分單元
    KEYOPT,2,2,0

    ET, 3, SOLID186                      ! 186減縮積分單元
    KEYOPT,3,2,0

    ET, 4, SOLID186                      ! 186完全積分單元
    KEYOPT,4,2,1


    MP, EX, 1, E
    MP, NUXY, 1, nu

    TYPE, 1                              ! 設置單元類型
    MAT, 1

    ALLSEL,ALL                           ! 全顯示

    LSEL,S,LENGTH,,H                     ! 按長度選線
    LESIZE,ALL, , ,NumY, , , , ,0        ! 布種子
    ALLSEL,ALL

    LSEL,S,LENGTH,,B                     ! 按長度選線
    LESIZE,ALL, , ,NumZ, , , , ,0        ! 布種子
    ALLSEL,ALL


    LSEL,S,LENGTH,,L                     ! 按長度選線
    LESIZE,ALL, , ,NumX, , , , ,0        ! 布種子
    ALLSEL,ALL

    VSWEEP,ALL                           ! 掃略分網

FINISH

2. 加載與求解

FINISH

/SOLU

    ! Fixed end
    NSEL, S, LOC, X, 0
    D, ALL, ALL, 0

    ALLSEL,ALL                           ! 全顯示

    ! Loads at free end
    N1 = NODE(L, 0, 0)
    F, N1, FY, -F

    SOLVE
    
FINISH

3. 後處理

/POST1

    /VIEW,, 0, 0, 1
    PLDISP, 2
    PLNSOL, S, X

    N2 = NODE(L/2, 0, 0)                 ! 獲取跨中結點編號
    NSEL,S,NODE, ,N2                     ! 選擇結點
    PRNSOL,U,Y                           ! 列出結點位移

FINISH

二、前處理

  懸臂樑長度爲 60 mm，其橫截面尺寸爲 H×B = 10 mm × 6 mm。材料爲鋼材，牌號爲 Q235B，其彈性模量爲 200 Gpa，泊松比爲 0.3。其端部承受集中荷載 P = 100 N，沿梁的長度方向承受均布荷載 q = 1 N/mm² ，如下圖所示：

  參考資料： ANSYS工程分析-基礎與觀念 第三章 ANSYS快速瀏覽. 李輝煌.

2.1 創建幾何

FINISH                                ! 退出當前處理器
/CLEAR,ALL                            ! 清除所有

! Units: N, mm, t

/PREP7                                ! 訪問前處理器

BLOCK, 0, 60, -5, 5, -3, 3            ! 創建六面體

/VIEW,, 1, 1, 1                       ! 設置視圖
VPLOT                                 ! Plot Volumes

  當用戶自定義視圖時，即確定觀察模型的角度時，需要執行 /VIEW 命令。我們需要確定視線的方向，即從何點看向何點，此時，我們需要給定視線的方向向量，該向量的起點稱爲視點，ANSYS默認爲點 (0，0，1)；向量的終點稱爲目標點，該點座標不可更改，始終爲全局座標系的原點即點 (0，0，0)。實際上，/VIEW 命令是用來定義一個新的視點的，第 1 個參數是window 的編號 (graphics window 可以切割成很多個 windows)，默認值爲 1，第 2、3、4 個參數分別是視點的 x、y、z 座標值。此時，我們定義的視線方向是 從點 (1, 1, 1) 看向點 (0, 0, 0) 。

2.2 定義屬性

ET, 1, SOLID185                       ! 定義單元類型
MP, EX, 1, 200000                     ! 定義彈性模量
MP, NUXY, 1, 0.3                      ! 定義泊松比

2.3 網格劃分

TYPE, 1                               ! 激活單元類型號1
MAT, 1                                ! 激活材料號1

ESIZE, 3                              ! 單元尺寸設置爲3
VMESH, ALL                            ! 執行分網

EPLOT                                 ! Plot Elements

FINISH                                ! 退出當前處理器

三、加載與求解

3.1 設置邊界條件

/SOLU                                 ! 訪問求解器

NSEL, S, LOC, X, 0                    ! 選擇x座標值爲0的全部結點
D, ALL, ALL, 0                        ! 指定邊界條件爲固定約束

ALLSEL,ALL                            ! 全選

3.2 施加均布荷載

NSEL, S, LOC, Y, 5                    ! 選擇y座標值爲5的全部結點
SF, ALL, PRES, 1                      ! 施加均布荷載

ALLSEL,ALL                            ! 全選

3.3 施加集中荷載

N1 = NODE(60,-5,-3)                   ! 獲取座標值爲(60,-5,-3)的結點編號
N2 = NODE(60,-5,3)                    ! 獲取座標值爲(60,-5,3)的結點編號

F, N1, FY, -50                        ! 施加集中荷載
F, N2, FY, -50                        ! 施加集中荷載

ALLSEL,ALL                            ! 全選

EPLOT                                 ! Plot Elements

  梁自由端施加集中荷載時，按理說應該在梁寬度中央結點處直接施加一個 100 N 的荷載，但有時寬度中央不一定存在結點 (本例只是恰好有)，比較保險的方式是把 100 N 分成兩個 50 N，分別施加到兩個端點上，即在編號爲 N1 及 N2 的結點上各施加大小爲 50 N 方向爲 -y 的集中荷載。其中 NODE 爲根據結點座標值獲取對應的結點編號的 ANSYS 內置函數。根據聖維南原理，此種加載方式並不影響遠端的計算結果。

3.4 求解

ANTYPE,STATIC                         ! 設置分析類型爲靜力分析
SOLVE                                 ! 提交求解器進行求解

FINISH                                ! 退出當前處理器

四、後處理

  ANSYS 提供了兩個後處理器：通用後處理器 (POST1) 和 時間歷程後處理器 (POST26)。通用後處理器 (POST1)：用來觀察整個模型在某一時刻的結果。時間歷程後處理器 (POST26)：用來觀察整個模型在不同時間段或荷載步上的結果，常用於處理瞬態分析和動力分析結果。本算例爲靜力分析，因此，該模型的後處理主要用到 POST1 處理器。

4.1 顯示變形形狀

/POST1                                ! 訪問POST1後處理器
/VIEW,, 0, 0, 1                       ! 設置視圖
PLDISP, 2                             ! 顯示結構變形形狀且重疊顯示結構變形前後的形狀。
ANDSCL                                ! 生成變形形狀的動畫

變形形狀 (最大變形爲0.17mm)

4.2 顯示位移雲圖

/POST1                                ! 訪問POST1後處理器
/VIEW,, 0, 0, 1                       ! 設置視圖
PLNSOL, U, Y,                         ! 繪製y方向位移雲圖
/EDGE,1,0                             ! 僅顯示邊緣輪廓(對於等值線顯示)
/REPLOT 

豎向位移雲圖 (最大值爲0.169mm)

  PLNSOL 爲用等值線或雲圖的方式顯示結點處的計算結果。

  PLESOL 爲用等值線或雲圖的方式顯示單元的計算結果。

4.3 顯示應力雲圖

4.3.1 顯示連續應力雲圖

/POST1                                ! 訪問POST1後處理器
/VIEW,, 0, 0, 1                       ! 設置視圖
PLNSOL, S, X                          ! 繪製x方向連續正應力雲圖
/EDGE,1,1                             ! 顯示所有單元面之間的公共線(對於等值線顯示)
/REPLOT                               ! Replot

4.3.2 顯示非連續應力雲圖

/POST1                                ! 訪問POST1後處理器
/VIEW,, 0, 0, 1                       ! 設置視圖
PLESOL, S, X                          ! 繪製x方向非連續正應力雲圖
/EDGE,1,1                             ! 顯示所有單元面之間的公共線(對於等值線顯示)
/REPLOT                               ! Replot

  PLESOL 命令繪製的雲圖的等應力線 (contour lines) 呈鋸齒狀，PLNSOL 命令繪製的雲圖的等應力線平滑連續。

  有限位移元的基本未知量爲結點位移，結點位移得到求解後，結構的位移場分佈便得到確定，位移場在空間上是連續的，但不一定是平滑的，即其導函數不一定保持連續。事實上，在單元內部，位移場連續且平滑，這是由形函數所決定的，但是在跨越單元邊界時，位移場通常是連續但不平滑的。所以，位移場在整個求解域內連續但不平滑，在數學上稱之爲分片平滑函數。這種分片平滑函數經微分 (應力場基本上是位移場的微分) 後，就變成了分片連續的函數，亦即函數在單元內部保持連續，在跨過單元邊界時是不連續的，就如上圖 (Element Solution) 所示，等應力線的不連續點發生在單元邊界上。

  理論上，只要單元尺寸足夠小，這種應力/應變的不連續性也會隨之得到改善。事實上，這種不連續性可以作爲解答精度的量測基準，即可用於判斷網格尺寸是否合適，應力不連續越明顯說明單元尺寸過大。當然，可以通過細化網格來改善應力場的不連續性，但是，此種做法沒有特別的必要，我們只需要將不連續的應力值做一個簡單的數學上的處理，使之連續甚至是平滑，這就是 PLNSOL 命令的功能。所謂數學上的簡單處理，就是採用繞結點平均法處理角結點上的應力。

  在單元角點處，若該角點爲多個單元的公共結點，則該點處的應力值由繞節點平均法得到。對於高階單元的邊中結點，並不是採用繞結點平均法處理應力，而是由該邊的兩個端點應力值進行插值得到。角點平均，中點插值。

  由上圖可以看出，結點解最大正應力爲 144.736 Mpa，單元解最大正應力爲 159.299 Mpa，兩者間的誤差爲：

$err = \frac{159.299 - 144.736}{144.736} × 100 \% = 7.3 \%$

  由於 err > 5%，這說明解答不滿足精度要求，網格尺寸需進一步減小，以獲得理想的解答。

  採用高階單元及完全積分模式，可改善 PLESOL 命令繪製的雲圖的不連續性。

  理論上，只要假設的形函數能保證應力場在全求解域上連續，那麼兩種方式得到的應力雲圖是一致的，但這對形函數的要求就相應提高，不僅僅是連續、一階可導，甚至得保證至少2階可導且導函數連續，顯然，沒有必要。

4.4 提取結點應力/單元結點應力

  有限元模型 = 結點 + 單元

  基本思想：幾何離散和分片插值。

  基本步驟：結構離散、單元分析和整體分析。

  離散的含義：用假想的線或面將連續物體分割成由有限個單元組成的集合，且單元之間僅在節點處連接，單元之間的作用僅由節點傳遞。當單元趨近無限小，節點無限多，則這種離散結構將趨近於實際的連續結構。

  將上述有限元模型的單元類型更改爲 SOLID186 (20結點二階單元) 後，重新分析，並選擇 141、142 號單元，進行應力數據的提取，以說明 ANSYS 是如何處理應力數據的，141、142 號單元位置如下圖所示：

ESEL,S, , ,141                        ! 選擇141號單元
ESEL,A, , ,142                        ! 選擇142號單元
/PNUM,NODE,1                          ! 顯示結點編號
/REPLOT                               ! Replot


/GRAPHICS,POWER                       ! 開啓 PowerGraphics Display
/EFACET,2                             ! 對於二階單元，輸出中間結點信息。
! /EFACET,1                           ! 對於二階單元，不輸出中間結點信息。
/REPLOT                               ! Replot

• 結點解應力結果

PRNSOL,S,COMP                         ! 列出結點上的應力結果，六個分量全部列出。

• 單元解應力結果

PRESOL,S,COMP                         ! 列出單元上的應力數據，六個分量全部列出。

  由上圖可以看出，PRESOL 命令並沒有列出每個單元的全部結點的應力數據，若全部列出，每個單元應該有 20 個結點，該命令只列出了單元 8 個角結點的應力數據。這是因爲，在單元層面上，只有單元角結點的應力數據是由高斯積分點外插得到的，高階單元邊中結點的數據不是通過高斯點外插得到的，而是由所在邊的角結點直接平均得到的，ANSYS的邏輯是隻顯示最重要最直接的結果，但凡能通過簡單的運算推得的結果均不顯示。

  通過 Main Menu >> General Postproc >> Query Results >> Subgrid Solu ，可查詢中間結點的應力值。

  按此方式，可查詢 337、669 及 670 三個結點在不同單元上的 x 方向正應力解答，如下圖所示：

左側爲141號單元 右側爲142號單元

  由上圖可以看出，在 141 號單元上，669 號結點的 Sx = 153.365，該值爲 377 號結點與 670 號結點 x 方向正應力的平均值，即 (141.12+165.609) / 2 = 153.3645；同樣地，在 142 號單元上，669 號結點的 Sx = 150.868，此值爲 148.51 和 153.225 的平均值，即 (148.51+153.225) / 2 = 150.8675。這說明，高階單元的邊中結點的應力值爲該邊兩端點相應應力值的平均值，並不是由高斯點外插得到的。

  那麼，從141號單元上，推導得到的 669 號結點的 x 方向正應力值爲 153.365，從142 號單元上，推導得到的 669 號結點的 x 方向正應力值爲 150.8675，以上兩個值爲單元解。理論上，從不同單元上，推導得到的同一結點處的應力值完全一致，但這對形函數及單元尺寸的要求格外的高，即要求形函數不但連續且其導函數也得連續，單元尺寸足夠細小等。但由此付出的計算成本是難以接受的，也沒有必要。只要這種不一致滿足一定的條件，我們就認爲解答可靠。因此，我們可以通過查看單元解在單元邊界上的不連續程度，來考察計算誤差是否可接受。

  

  實際上，應力場在整個求解域上是單值連續函數，即一個位置處有且只有一個數值，因此，各個單元求解得到的同一結點應力值需做數學上的簡單處理，即取平均值作爲應力在該結點上的實際解答，故 669 號結點最終的表徵應力值爲 (153.365+150.8675) / 2 = 152.11625。這就是 ANSYS 中，Nodal Solu 中列出的 669 號結點 Sx = 152.12 的整個求解過程。

  

  以 377 號結點爲例，進一步說明應力結果在結點處的處理規則，下表爲不同處理方式得到的 6 個應力分量，可以看出，結點解爲兩個單元解的平均值，因爲 377 號結點只是 141 號單元和 142 號單元兩個單元的公共結點，所以爲這兩個單元解的平均值，若某個結點爲多個單元共有結點，那結點解則爲多個單元解的平均值。

數據處理方式	單元編號	結點編號	Sx	Sy	Sz	Sxy	Syz	Szx
結點解	-	377	144.82	-13.434	-11.516	4.9365	0.82502	6.3010
單元解	141	377	141.12	-19.846	-17.569	10.032	0.22062	10.832
單元解	142	377	148.51	-7.0208	-5.4638	-0.15867	1.4294	1.7695

377號結點的單元解與結點解

  通過，以上各種對比分析，不難發現，所謂的結點解與單元解均指的是應力在同一結點處的解答。比較同一結點的結點解與單元解纔有意義，不同點你能比較出來個啥，比較出來又有什麼意義，啥問題說明不了。不同的是，對於結點的看待角度有所不同。結點解中結點爲整個有限元層面的結點，不同的是，雖然
單元解指的是單元結點應力解並不是孤立的，而是具有緊密聯繫的。結點解與單元解都是指應力在應力 (可以是應變等派生解)

  在有限元分析中，我們最最關注的是各物理量在結點處的取值，這些物理量可以是位移、應力、應變等等。

  爲什麼單元內任意一點處的位移、應力、應變沒有結點處的重要？

  因爲，當單元各結點處的位移、應力、應變確定後，單元內任意一點處的位移、應力、應變便可由結點處各相應物理量插值得到，插值函數通常爲單元的形函數，什麼時候不通常？高階單元的應力插值函數爲其相對應低階單元的形函數。

  衆所周知，位移在結點上精度最高，應力/應變在積分點上精度最高，按理說，應力結果最具代表性的位置應該是高斯積分點，爲什麼 ANSYS 中，仍然採用單元結點來表徵應力，即在 ANSYS 中列出單元結點應力是方便的，若想列出單元高斯點出的應力有點費勁，需通過間接方式： 把高斯點處的應力結果複製到單元結點上，然後在列出單元結點應力。這是因爲 ANSYS 的應力後處理規則保證了採用結點表徵應力時，高斯積分點處的應力維持不變，顯然，用單元結點更爲方便。

  有限元分析的基本未知量爲結點位移，因此，有限元分析完成後，最先呈現出來的計算結果就是有限元模型中各結點處的結點位移，而諸如應力、應變等其他物理量均是在結點位移確定後，通過各種數學計算得到的，也沒什麼高級的計算，基本上就是加減乘除內插外插等。有限元中的各種數學運算並不多高級，真的就只是加減乘除內插外插，只不過是數據量特別龐大，顯得運算很高級。

  有限元最精髓的操作就是分片插值和取平均值，各種插值，內插、外插，一頓插，不同插值方式得到的同一位置處的物理量不一致時就取平均值。

  結點位移爲有限元分析的原生解答，單元上 (單元結點也在單元上) 任意一點處的位移、應力、應變爲派生解答，結點應力、結點應變爲該結點全部所屬單元在該位置處解答的算數平均值。

  理論上，結點位移求解後，結合形函數可確定單元位移場 ，通過幾何方程可確定單元應變場，通過物理方程可確定單元應力場，但由此單元應力場計算得到的單元應力，在高斯點處精度最高，單元結點處精度最低，在單元結點處計算結果往往具有很大誤差甚至錯誤，因此，需要對單元應力進行數學上的處理，以消除誤差，提高精度。

  若有足夠的高斯積分點數量，則 ANSYS 採用單元應力修勻法修正單元應力場。對於等參元來說，有了單元內應力局部磨平的方法，可以方便地利用精度較高的高斯積分點 (最忌應力點) 的應力值來改進等參元結點應力的近似性質，這種改進結點應力的方法亦稱之爲應力插值外推。(單元局部應力磨平法)

  由於位移場連續不一定可導，而應力場由位移場求導得到，不是單純的就求個導，還有其他代數運算，但肯定是要求個導，所以應力場不一定連續。若應力場不連續，則同一位置處通常是多個單元共享結點處，不同單元推導得到的應力值將無法保持一致，要是都一致，那麼應力場在該點處就連續了。顯然，在真實世界中，結構在外載作用下，各種物理量是保持連續的，而有限元計算只能保證位移連續，應力、應變不一定保持連續。爲了解決這一矛盾，當同一位置處，由不同單元推導出的物理量不一致時，則取需要做數學上的簡單處理，即算數平均，以使得該位置處該物理量有唯一取值。在 ANSYS 中，有限元模型各結點上應力/應變等物理量未做平均處理前，即保持各個單元計算出的該點應力/應變值不變，不做任何數學上的平均處理，數據在該點處明顯不連續，這個解答稱爲單元解，顯然，同一個結點，從不同的單元推導其應力，可能得到不同的數值。結點上的應力/應變等物理量做了繞結點平均處理後的解答稱作結點解，即各物理量在結點上保持連續了，這更符合實際情況，因此，我們往往採用結點解作爲有限元最終的解答。而單元解只是結點解的上一個步驟，數據在結點處未做平均處理就是單元解，數據在結點處做了平均處理就是結點解。單元解主要用於查看應力/應變的不連續程度，以表明網格質量和解答精度。如果網格足夠細小，有限元的解答足夠精確，那麼單元解顯示的應力雲圖連續性越好，即由不同單元推導出的同一結點上的應力值幾乎是一樣的，那這解答肯定是完美的。

  綜上，單元解與結點解區分的是在結點處不連續的物理量，如應力、應變等，這些都是派生解答，即都是有結點位移推導得到的。而連續的物理量如位移，沒必要區分單元解與結點解，因爲，位移在整個求解域上是保持連續的，而結點位移本來就是有限元的原生解。所以，在ANSYS 中，雲圖繪製時，Nodal Solu 內由位移雲圖繪製選項，而 Element Solu 內沒有。

  以應力解答爲例，應變等其他不連續的物理量解答類似，來進一步說明單元解與結點解的區別。通過上述大量的分析可以看出，單元解的全稱應該是結點應力單元解，結點指明位置，應力指明物理量，單元解指明在結點上應力這個物理量是由單元推導出來的，其實更清晰點還應該指出是由哪個單元推導出的。顯然，結點應力單元解不止一個，若某個結點是 k 單元的公共結點那麼該結點應力的單元解就有 k 個，每個單元推導出一個解，共 k 個。那麼，結點應力結點解就是結點應力各單元解的平均值。

  例如，在上述懸臂樑分析中，377 號結點是 141 號單元和 142 號單元兩個單元的公共結點，那麼， 377 號結點處 x 方向上的正應力 Sx 就有兩個單元解，一個來自 141 號單元，另一個來自 142 號單元，我們可以按如下方式表述：

  在 141 號單元上第 377 號結點的 x 方向上的正應力 Sx 的解答爲 141.12 Mpa，在 142 號單元上第 377 號結點的 x 方向上的正應力 Sx 的解答爲 148.51 Mpa。

  由此便可計算得 377 號結點 x 方向上的正應力 Sx 的結點解爲：

$\frac{141.12 + 148.51}{2} = 144.815$

  這就是 ANSYS 軟件中，列出 377 號結點 Sx 結點解 144.82 的由來。

  可見，單元解爲有限元計算的實際反映，即算出來多少就是多少，原封不動的呈現出來，符合不符合物理實際暫時不管，但是它能反映出解答的好壞，而結點解做了數學上的平均處理，使結果更符合物理實際，解決的是同一位置處應力值必須只有一個的問題。

  

4.5 查看單元高斯點應力

  - ansys查看積分點(高斯點)上應力的方法

4.6 計算合力

五、單元結點應力的計算

  有限位移元分以結點位移爲基本未知量，一旦結點位移確定後，單元內任意一點的位移可由下式求得：
$\boldsymbol {d}=\boldsymbol {N} \cdot \boldsymbol {\delta_e}$

式中， $\boldsymbol {N}$ 爲形函數矩陣，$\boldsymbol {\delta_e}$ 爲單元各結點位移列陣。

  根據彈性力學幾何方程，單元的應變場由下式得到：

$\boldsymbol\varepsilon = \boldsymbol A^T \boldsymbol d = \boldsymbol {B} \cdot \boldsymbol {\delta_e}$

式中，$\boldsymbol A^T$ 爲微分算子，即求導規則矩陣； $\boldsymbol {B}$ 爲應變矩陣，$\boldsymbol {B}= \boldsymbol {A}^T \cdot \boldsymbol {N}$。

  根據彈性力學物理方程，單元應力場由下式得到：

$\boldsymbol {\sigma} = \boldsymbol {D} \cdot \boldsymbol {\varepsilon} = \boldsymbol {D} \cdot \boldsymbol {B} \cdot \boldsymbol {\delta_e}$

其中，$\boldsymbol D$ 稱爲彈性矩陣，它完全取決於彈性材料的彈性模量 $E$ 和泊松比 $\mu$ 。

  對於等參元，高斯積分點爲單元內最佳應力點，即高斯積分點上應力精度最高。

  對於面積和體積單元，通常，應力/應變在高斯點上的計算結果更加準確。然而單元結點和形心位置處的應力/應變結果是人們更爲關注的，但在這些位置處，由上式計算得到的應力/應變結果精度較差，尤其是單元結點上。

  基於單元形函數或簡化形函數，可以將高斯點處的應力向外插值得到單元結點上的應力值，向內插值得到單元形心處的應力值，由此得到的結果較由物理方程得到的結果在精度上大爲改善，內插/外插函數如下表所示：

  Uniform stress cases, like a constant stress triangle, do not require the above processing.

  若積分點的數量不足以完成外插工作，如4結點四邊形減縮積分單元，只有一個積分點，則無法採用積分點應力外插的方式提高單元內應力的精度，此時，則不做上述處理，單元結點上的應力直接取爲物理方程的計算結果。

六、收斂性研究

  爲了方便說明不同建模方式對計算結果的影響，將上述模型的橫截面尺寸更改爲 H × B = 12 mm × 6 mm，集中荷載變更爲 500 N，去掉均布荷載，其餘參數保持不變，即懸臂樑承受端部 500 N 集中荷載作用，如下圖所示：

  該懸臂樑的實體單元有限元模型如下圖所示：

  根據材料力學知識，矩形截面懸臂樑在自由端集中荷載 F 作用下，梁的撓曲線方程爲：

$y = \frac{Fx^2}{6EI}(3l-x)= \frac{2Fx^2}{Ebh^3}(3l-x)$

  根據材料力學知識，矩形截面懸臂樑在自由端集中荷載 F 作用下，固定端最大彎曲正應力爲：

$\sigma = \frac{Fl}{W} = \frac{6Fl}{bh^2}$

  有限元模型將集中荷載施加到自由端截面中心結點處，此結點處及周圍單元會產生很大的應力集中，這與理論假設有很大出入，根據聖維南原理，此種影響在梁跨中截面處已經很小。因此，我們另取跨中截面中點處的豎向位移，作爲理論解與有限元解豎向位移的對比位置。最大拉伸彎曲正應力取梁的固定端截面。

  由上式，可計算得該懸臂樑自由端的撓度爲：

$I = \frac{1}{12} b h^3 = \frac{1}{12}×6× 12^3=864 \, {\rm mm}^4$

$y_{\max} = \frac{500×60^3}{3×200000×864} = 0.208333 \, {\rm mm}$

  該懸臂樑跨中的撓度爲：

$y_{\rm mid} = \frac{500×30^2}{6×200000×864}×(3×60-30) = 0.065104 \, {\rm mm}$

  該懸臂樑固定端截面最大拉伸彎曲正應力爲：

$\sigma = \frac{6Fl}{bh^2} = \frac{6×500×60}{6×12^2} = 208.333 \, {\rm Mpa}$

表 1 實體單元建模 (泊松比 0.3)

單元名稱	單元尺寸	單元形狀	單元階次	積分方案	跨中豎向位移 (mm)	自由端豎向位移 (mm)	最大拉伸彎曲正應力 (Mpa)
SOLID 185	3 mm	六面體	一階單元	減縮積分	0.073040 (12.19%)	0.26446 (26.94%)	163.969 (21.29%)
SOLID 185	3 mm	六面體	一階單元	完全積分	0.066519 (2.17%)	0.21202 (1.77%)	186.142 (10.65%)
SOLID 186	3 mm	六面體	二階單元	減縮積分	0.067079 (3.03%)	0.21472 (3.07%)	250.726 (20.35%)
SOLID 186	3 mm	六面體	二階單元	完全積分	0.067008 (2.92%)	0.21412 (2.78%)	257.162 (23.44%)

  由上表可以看出，採用不同階次及不同積分方案實體單元計算時，跨中位移精度尚可，最小誤差爲 2.17%，最大誤差爲 12.19%。但各位移值均大於理論值，說好的有限元模型計算的位移值偏小呢？(見下文解釋) 而最大正應力的誤差較大，最小誤差爲 10.65%，最大誤差爲 23.44%。顯然，此種水平的計算精度肯定是不滿足工程需要的，那麼問題出在了哪裏呢？原來，是泊松比的影響，上述計算中，採用的是鋼材的實際泊松比 0.3。然而，在材料力學中，在梁的撓度和彎曲正應力推導時，假定材料的泊松比爲 0。將有限元模型中，材料的泊松比設置爲 0，重新分析後，結果如下表所示。

表 2 實體單元建模 (泊松比 0)

單元名稱	單元階次	積分方案	跨中豎向位移 (mm)	自由端豎向位移 (mm)	最大拉伸彎曲正應力 (Mpa)
SOLID 185	一階單元	減縮積分	0.07293 (12.02%)	0.25598 (22.87%)	163.102 (21.71%)
SOLID 185	一階單元	完全積分	0.066773 (2.56%)	0.21187 (1.70%)	187.866 (9.82%)
SOLID 186	二階單元	減縮積分	0.067585 (3.81%)	0.21542 (3.40%)	214.712 (3.06%)
SOLID 186	二階單元	完全積分	0.067584 (3.81%)	0.21503 (3.22%)	215.064 (3.23%)

  由上表可以看出，採用二階單元，有限元解答和理論解答基本接近，誤差在 5% 以內。但是，各豎向位移仍然大於理論位移，說好的有限元位移解答具有下限性呢？此時，有限元模型與理論推導假設存在的一個差別是 z 方向及 x 方向的約束，理論上的力學模型假設梁沒有軸向位移，沒有側向位移，在豎向荷載作用下只有豎向變形，爲了進一步探討有限元位移解答的下限性，將上述有限元模型各結點處的 z 向位移約束住，以使有限元模型與理論推導模型盡最大可能保持一致，分析結果如下表所示：

表 3 實體單元建模 (泊松比 0, Uz=0)

單元名稱	單元階次	積分方案	跨中豎向位移 (mm)	自由端豎向位移 (mm)	最大拉伸彎曲正應力 (Mpa)
SOLID 185	一階單元	減縮積分	0.072959	0.25459	163.102
SOLID 185	一階單元	完全積分	0.066724	0.21169	186.875
SOLID 186	二階單元	減縮積分	0.067585	0.21539	214.712
SOLID 186	二階單元	完全積分	0.067584	0.21502	215.064

  該表計算結果與上表結果相比，顯然，約束 z 方向上的平動位移，沒什麼卵用。但這恰好從側面說明，採用三維實體單元建模分析梁的平面內變形時，沒必要特意約束出平面外的位移，計算結果精度已足夠，即沒必要時模型的邊界條件與理論嚴絲合縫的保持一致。

  再換個思路，材料力學中彎曲正應力及撓度的計算時，假設其跨高比大於等於10 即 l/h >= 10，這樣梁纔會以彎曲變形爲主。顯然，本算例中跨高比爲 l/h = 5，不滿足此要求。那麼，將該梁的跨度由 60 mm 改爲 360 mm。此時，懸臂樑的跨高比爲 30，遠大於 10，滿足要求。泊松比仍設置爲 0，自由端集中荷載 F = 500 N，其餘條件保持不變，有限元模型如下圖所示。

  根據材料力學公式，該懸臂樑跨中及自由端撓度分別爲：

$y_{\rm mid} = \frac{500×180^2}{6×200000×864}×(3×360-180) = 14.0625 \, {\rm mm}$

$y_{\max} = \frac{500×360^3}{3×200000×864} = 45 \, {\rm mm}$

  根據材料力學公式，該懸臂樑固定端截面最大彎曲正應力爲：

$\sigma = \frac{6Fl}{bh^2} = \frac{6×500×360}{6×12^2} = 1250 \, {\rm Mpa}$

  有限元分析結果如下表所示：

實體單元建模 (泊松比 0)

單元名稱	單元階次	積分方案	跨中豎向位移 (mm)	自由端豎向位移 (mm)	最大拉伸彎曲正應力 (Mpa)
SOLID 185	一階單元	減縮積分	15.007 (6.72%)	48.033 (6.74%)	996.019 (20.32%)
SOLID 185	一階單元	完全積分	13.942 (0.86%)	44.599 (0.89%)	1138.03 (8.96%)
SOLID 186	二階單元	減縮積分	14.077 (0.10%)	45.032 (0.07%)	1256.38 (0.51%)
SOLID 186	二階單元	完全積分	14.077 (0.10%)	45.032 (0.07%)	1256.73 (0.54%)

  通過，以上各種測試，並沒有明顯的看到，完全積分單元位移解答的下限性。事實上，這裏陷入了一個誤區，

  在單元階次相同的前提下，完全積分單元求得位移一定比減縮積分求得的位移小，且一定小於理論上的精確解，這是由有限元位移解答的下限性決定的。而減縮積分求得的位移總體上偏大，但不一定會小於理論上的精確解答。這是由於，減縮積分方案只保證形函數的完全多項式部分的精確積分，非完全的高次項在積分時精度得不到保證，這相當於對原位移函數做了調整，降低了離散模型的剛度，使位移計算較完全積分偏大，在一定程度上改善了計算精度。

  附帶指出，若某一單元它的插值函數中只包括完全多項式的項次，如採用面積座標邊界爲直線的三角形單元，那麼，不存在完全積分與減縮積分的差別，只要根據被積函數的方次選擇精度階次和其一致的積分方案即可。

  以位移爲基本未知量，並基於最小位能原理建立的有限元稱之爲位移元。位移元得到的位移解總體上不大於精確解，即解答具有下限性質，特別注意，是總體上不大於而不是每一點都不大於。因此，上述各種對比分析，試圖只單純的討論跨中截面形心點這一點處的豎向位移，來證實有限元位移解答的下限性，顯然，不甚很合理，也沒什麼意義。

  由於位移型有限元解答的下限性，離散模型的剛度要高於實際模型。

  從以上各種計算結果中，沒有明顯的看到一階完全積分單元的剪力自鎖效應，這是因爲，以上網格劃分的以足夠細小，全部爲 3 mm × 3 mm × 3 mm 的立方體，網格已經足夠細小。使變形過於剛硬。

  從以上各種計算結果中，也沒有明顯的看到一階減縮積分單元的沙漏效應，這是因爲，以上網格劃分的以足夠細小，全部爲 3 mm × 3 mm × 3 mm 的立方體，網格已經足夠細小。使變形過於柔軟。

  事實上，網格劃分細種程度，有限元分析中的許多問題基本上已迎刃而解，如單元解與結點解差差別較大問題，完全積分與減縮積分對計算結果的影響問題等等。現實計算中，我們必須權衡計算精度與計算時常，過細的網格往往很消耗求解時間，工程師要做的最重要工作就是用差不多的網格得出精度相當高的計算結果。

七、尾聲

八、參考文獻

[1]. ANSYS工程分析-基礎與觀念. 李輝煌.

[2]. 均布荷載作用下懸臂樑的彈性力學解. 王小琴. 劉雲帥. 馮英傑.

[3]. 彈性理論及其工程應用. 李志鵬.