ANSYS 有限元分析 後處理

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一、前沿

    後處理一般是由 ANSYS 後處理器或其他後處理程序實現的，後處理器讀入二進制文件 (.rst文件)，可以用各種各樣方式顯示結果，如彩色等值線圖、動畫、應力雲圖、位移雲圖等。

  .rst文件爲二進制文件，是結構與耦合分析結果數據的存儲文件。

  ANSYS 提供了兩個後處理器：通用後處理器 (POST1) 和 時間歷程後處理器 (POST26)。

  通用後處理器 (POST1)：用來觀察整個模型在某一時刻的結果。

  時間歷程後處理器 (POST26)：用來觀察整個模型在不同時間段或荷載步上的結果，常用於處理瞬態分析和動力分析結果。

  rst 文件內有許多數據組 (data set)，每一數據組代表一個時間點的反應輸出值，/POST1 模塊是用來處理某一數據組的。/POST1 是針對某一時間點，反應值在空間上的分佈；/POST26 模塊是針對某一空間點，反應值在時間上的變化。

二、結點解與單元解

  一切物理現象都可以用微分方程表示。求解微分方程的能力遠低於列出微分方程的能力。近似分析方法提供了求解微分方程的另一種手段，如有限單元法、有限差分法和變分法等。

  有限單元法的基本思想： 把連續的幾何結構離散成有限個單元，並在每一個單元中設定有限個結點，從而將連續體看作僅在結點處相連接的一組單元的集合體，同時選定場函數的結點值作爲基本位置量，並在每一單元中假設一個近似插值函數以表示單元中場函數的分佈規律，再建立用於求解結點未知量的有限元方程組，從而將一個連續域中的無限自由度問題轉化爲離散域中的有限自由度問題，求解得到結點值後就可以通過設定的插值函數確定單元上乃至整個集合體上的場函數。

  高斯積分法

20結點六面體等參元

  20結點六面體等參元的單元剛度矩陣爲：

$\boldsymbol {k_e} = \int_V\boldsymbol {B}^T \, \boldsymbol {D} \, \boldsymbol {B} \, {\rm d}V$

$\boldsymbol {k_e} = \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \boldsymbol {B}^T \, \boldsymbol {D} \, \boldsymbol {B} \, |\boldsymbol {J}| \, {\rm d}\xi \, {\rm d}\eta \, {\rm d}\zeta$

  上式中的被積函數相當複雜，一般難以積出顯示形式。因此，在有限元法的計算中，通常採用數值積分。

  在單元內選出某些點 (稱爲積分點)，計算出被積函數在這些積分點處的函數值，然後用一些加權係數乘上這些函數值，再求出總和，作爲近似值。

  高斯積分法就是數值積分法中具有較高精度的方法，一維的高斯求積公式如下：

$\int_{-1}^1 f(\xi) \, {\rm d}\xi = \sum_{i=1}^n \, H_i \, f(\xi_i)$

式中， $H_i$ 爲加權係數，$n$ 爲積分點個數。

  積分點個數 $n$ 的選取與被積函數 $f(\xi)$ 有關，當被積函數爲 $m$ 次多項式時，則取 $n \ge (m+1)/2$；當被積函數不是多項式時，則需要通過一些試算來判斷選取適當的 $n$ 值，需要指出的是，不要取的過大，因爲計算量將會隨着積分點的增加而急劇增加。

  有限元在求解結構問題時，大型方程組中的基本未知量爲結點位移，因此，我們求解大型方程組後，最先得到的計算成果是各個結點處的位移值即全部的結點位移，亦即任意一單元的結點位移也得到確定，結合事先給定的形函數，便得到該單元的位移場，即根據單元結點位置數值和形函數便可確定單元內任意一點處的位移值。

  應用位移元進行有限元分析時，未知的場函數是位移。利用系統總位能的變分得到的求解方程是系統的平衡方程。雖然它滿足各個結點的平衡條件，以及各個單元和整個結構的總平衡條件，但是從求解方程解得的則是各個結點的位移值。而實際工程問題需要的往往是應力分佈，特別是最大應力的位置和數值，爲此需要利用以下公式由已解得的結點位移算出單元內的應力。

   應用插值公式，可由單元結點位移 $\boldsymbol {\delta_e}$，求得單元位移函數 $\boldsymbol {d}$，這個插值公式表示了單元中位移的分佈形式，因此稱爲位移模式。單元位移場如下式所示：

$\boldsymbol {d}=\boldsymbol {N} \cdot \boldsymbol {\delta_e}$

式中， $\boldsymbol {N}$ 爲形函數矩陣，$\boldsymbol {\delta_e}$ 爲單元各結點位移列陣。

  根據彈性力學幾何方程，單元的應變場由下式得到：

$\boldsymbol\varepsilon = \boldsymbol A^T \boldsymbol d = \boldsymbol {B} \cdot \boldsymbol {\delta_e}$

式中，$\boldsymbol A^T$ 爲微分算子，即求導規則矩陣； $\boldsymbol {B}$ 爲應變矩陣，$\boldsymbol {B}= \boldsymbol {A}^T \cdot \boldsymbol {N}$。

  根據彈性力學物理方程，單元應力場由下式得到：

$\boldsymbol {\sigma} = \boldsymbol {D} \cdot \boldsymbol {\varepsilon} = \boldsymbol {D} \cdot \boldsymbol {B} \cdot \boldsymbol {\delta_e}$

其中，$\boldsymbol D$ 稱爲彈性矩陣，它完全取決於彈性材料的彈性模量 $E$ 和泊松比 $\mu$ 。

  由以上各式可以得到，單元應變場由單元位移場經求導運算 (可能是求一階偏導也可能是求二階偏導) 得到，單元應力場由單元應變場經代數運算 (非求導運算、只有加減乘除等) 得到。通常，位移場在結構的全局上是連續函數，這一點在假設形函數時天然得到滿足。應變場、應力場在單元內部是保持連續的，而在單元間不一定連續 (一般不連續)，即在單元邊界上發生突變，那麼，同一個結點，由圍繞它的不同單元計算得到的應變值和應力值通常是不同的。這與現實情況有出入，實際上，結構在外載作用下，位移場函數、應變場函數、應力場函數均爲連續。因此，爲了解決這一問題，需要對單元的應變結果及應力結果做數學上的處理，以提高應變/應力精度，使之更符合實際情況。

  函數連續它的導函數不一定連續。

  應變矩陣 $\boldsymbol {B}$ 是插值函數 (形函數矩陣) $\boldsymbol {N}$ 對位置座標進行求導之後得到的矩陣。求導一次，插值多項式的次數就降低一次。所以，通過導數運算得到的應變 $\boldsymbol\varepsilon$ 與應力 $\boldsymbol {\sigma}$ 精度較位移 $\boldsymbol {d}$ 降低了，即利用以上兩式得到的應變 $\boldsymbol\varepsilon$ 與應力 $\boldsymbol {\sigma}$ 有較大誤差。這種應力解答的近似性表現在：

  (1). 單元內部一般不滿足平衡方程；

  (2). 單元間應力一般不連續；

  (3). 在力的邊界上一般也不滿足力的邊界條件。

  由有限位移元計算出的位移精度是最高的，位移求導得應變(幾何方程)，由物理方程可得到應力。

  在有限單元法中，位移的精度較高，其誤差量級是 ，即與單元尺寸的二次冪成正比，應力誤差的量級是 ，即與單元的大小成正比 。因此，對於結點位移的成果，可直接採用。

  應力結果需要做數學上的處理，爲了提高應力精度，解決應力波動性問題，可採用兩種應力成果的整理方法：兩相鄰單元平均法和繞結點平均法。值得指出：兩相鄰單元平均法的精度較好，因爲它涉及的區域範圍較小。在受面力邊界線附近，求得的應力誤差較大，可採用向外插值的方法 (例三結點拋物線插值) 來解決。

  用最小位能原理求得的位移解具有下限性質。由於近似解的總位能一般總是大於精確解的總位能，而近似解的應變能一般地總是小於精確解的應變能，因此，得到的位移解總體上偏小，這是求得的位移解的性質。

  無限自由度系統被離散爲有限自由度系統後，有限自由度系統顯得比原來更剛，因此，變形要小。

  實際結構本來是具有無限個自由度，當用有限元求解時，結構被離散爲有限個單元的集合，便只有有限個自由度了，限制了結構變形能力，從而導致結構的剛度增大、計算的位移減少，所以有限元求得的位移近似解小於精確解。

  那麼，求得應變解、應力解具有怎樣的性質呢？

  經數學上的證明，可得到如下結論：應變近似解和應力近似解必然在精確解上下振盪，並在某些點上，近似解正好等於精確解，也即單元內存在最佳應力點。應力解的這一特點將有助於我們處理應力計算的結果，改善應力解的精度。

假設位移近似解爲 p 次多項式，微分算子的階數爲 m ，則應變近似解和應力近似解爲 n = p-m 次多項式，爲了使相關積分式能精確成立，至少需要採用 n+1 階的高斯積分，當取 n+1 階高斯積分時，積分精度可達 2(n+1)-1 = 2n+1 次多項式，也就是該被積函數是 2n+1 次多項式的情況仍可達到精確積分。

  經證明，可得到如下實用的推論：在等參元中，單元中 (n+1) 階 (n=p-m) 高斯積分點上的應變或應力近似解比其他位置處具有更高的精度，因此，稱 (n+1) 階高斯積分點是等參元中的最佳應力點。其中，位移近似解爲 p 次多項式，m 爲微分算子階數。

幾種常用二維 C0 型單元 (m=1) 的最佳應力點位置 (△)

  由以上討論可知，由位移元得到的位移解在全部求解域上是連續的，應變和應力解在單元內部是連續的而在單元間一般是不連續的，即在單元邊界上發生突跳。因此，同一個結點，由圍繞它的不同單元計算得到的應變值和應力值通常是不同的。另一方面，在邊界上應力解一般地也是與力的邊界條件不完全符合。等參元雖然在 n+1 階高斯積分點上的應力具有較高的精度，但在結點上計算得到的應力精度較差。通常，實際工程問題中我們感興趣的是單元邊緣和結點上的應力，因此，需要對計算得到的應力進行處理，以改善所得到的結果。常用的應力處理方法有：單元平均/結點平均、總體應力磨平、單元應力磨平、分片應力磨平等。

  單元結點位移確定後，結合形函數，可得到單元位移場，進而得到單元應變場 (幾何方程) 和單元應力場 (物理方程)，從而，高斯積分點處的應變值和應力值得到確定。利用單元的形函數及高斯點上的應變值/應力值，將這些值外推到該單元的結點上，即可得到單元結點上的應變值和應力值。顯然，不同的單元會共用一些結點，而從不同單元內的積分點外推到這些公共結點上的應變值和應力值一般不同，將一個公共點的多個應力進行平均，以代表該結點處的應力值。

  綜上，單元結點應力由單元高斯點處的應力外推得到，當多個單元共用一個結點時，不同單元推得的結點應力並不完全一致， 此時，應力在該結點處發生突變，不在保持連續，這與事實不符。爲了保持應力場的連續性，需要對不同單元推得的該結點處的應力值進行數學上的處理，最簡單粗暴的處理方式是進行算數平均，以平均值作爲該結點處最終的應力數值，這樣使得應力場在各單元的公共點上保持連續。

~~  ANSYS中的單元解即爲結點應力未做平均前的應力解答，結點解即爲進行結點應力平均處理後的應力解答。
  原始解：結點位移
  單元解：單元的應變應力
  結點解：應力修勻
  從上面也可以看出，從精度來說，結點位移解高於單元應變解，單元應變解高於單元應力解，單元解之間是不連續的，而結點解是連續的，通常都是查看結點解來進行相關分析的。

  在 Ansys 中求解出的應力默認是高斯點 (積分點) 上的應力經過軟件內外插值後得到的結果。~~

  對於等參元分析來說，可採用應力修勻法進行處理，應力不連續問題。

最簡單處理應力結果的方法是取相鄰單元或圍繞結點各單元應力的平均值。

取相鄰單元應力的平均值，這種方法最常用於3結點三角形單元

應力近似解總是在精確解上下振盪。位移近似解總是小於精確解。

Element Solution

Stresses and strains are two primary element solution quantities in structural elements used for stress analysis. Stresses and strains are directly evaluated at element integrations points, and may be extrapolated to element nodes or averaged at element centroid for output. Generalized stresses and strains, such as linearized stresses, forces, moments, and curvature changes, are available in beam, pipe, elbow, and shell elements.

Integration Point Solution

Centroidal Solution

Output (such as stress, strain, and temperature) in the output listing is given at the centroid (or near center) of certain elements. The location of the centroid is updated if large deflections are used.

The output quantities are calculated as the average of the integration point values.

Nodal Solution

The nodal solution from an analysis consists of:

the degree-of-freedom solution, such as nodal displacements, temperatures, and pressures

the reaction solution calculated at constrained nodes - forces at displacement constraints, heat flows at temperature degree-of-freedom constraints, fluid flows at pressure degree-of-freedom constraints, and so on.

三、Contour Displays 雲圖顯示

  General Postprocessor (POST1) ： /POST1模塊是用來處理某一數據組的，是針對某一時間點，反應值在空間上的分佈。

  Nodal Solution / Element Solution

3.1 顯示連續雲圖 PLNSOL

Contour displays show how a result item (such as stress, temperature, magnetic flux density, etc.) varies over the model. Four commands are available for contour displays:

• PLNSOL – Displays solution results as continuous contours

• PLESOL – Displays solution results as discontinuous element contours

• PLETAB – Displays element table items

• PLLS – Displays element table items as contoured areas along elements

The PLNSOL command produces contour lines that are continuous across the entire model. Use either for primary as well as derived solution data. Derived solution data, which are typically discontinuous from element to element, are averaged at the nodes so that continuous contour lines can be displayed.

  PLESOL 命令繪製的雲圖的等應力線 (contour lines) 呈鋸齒狀，PLNSOL 命令繪製的雲圖的等應力線平滑連續。

有限元素分析的解有一個行爲，就是其DOF的數值解（亦即displacement fields）在空間上雖然是連續的（continuous），但是並不一定是平滑的（smooth）；事實上是：在元素的內部，這些displacement fields是連續且平滑的（因爲是由形狀函數所描述），但是跨過元素的邊界時，則通常是連續但不平滑的（形狀函數並不跨越元素邊界）；所以整體空間而言，displacement fields是連續但不平滑的，在數學上我們稱之爲「片段平滑」函數（piece-wise smooth functions）。這種片段平滑函數經微分（應力場基本上是變位場的微分）之後，就變成「片段連續」的函數：亦即在元素的內部是連續的，但是跨過元素的邊界時是不連續的，就如Figure 7-3上圖的應力場所顯示的，等應力線的不連續點發生在元素的邊界上。

理論上，只要元素足夠細小，這種應力（或應變）的不連續性也會跟着足夠小。事實上，這種不連續性可以作爲解答精度的量測基準 [Ref. 7, Sec. 19.7. POST1 - Error Approximation Technique ]。實務上，將元素切割的很細來達到應力線連續的目的是沒有必要的，ANSYS可以將不連續的應力值做一個簡單的處理，使之變成連續甚至平滑的，而不失其合理性，這就是PLNSOL命令的功能。所謂「簡單的處理」，簡單的說就是取其平均值（averaging）：同一個節點，若有幾個不同的應力值，則把這些值取平均，做爲唯一的應力值。

PLNSOL (plot nodal solutions)

PLESOL (plot element solutions)

3.1 顯示不連續雲圖 PLESOL

四、內力提取

五、尾聲

六、參考文獻

[01]. 有限單元法. 王勖成 編著. 北京. 清華大學出版社. 2003.

[02]. 有限單元法教程. 王煥定 王偉 編著

[03]. Ansys中的節點解和單元解. 坐倚北風.

[04]. 節點解、單元解以及單元節點解. 長安CAE.

[05]. 有限元計算的節點解與單元解. 長安CAE.

[06]. 有限元計算的節點解與單元解的討論續. 長安CAE.

[07]. 有限元計算的節點解與單元解的討論再續 . 長安CAE.

[08]. 高斯積分點以及有限元中應用

[09]. Ansys高斯點（積分點）上的應力和軟件插值後得到的應力比較. 坐倚北風.

[10]. 有限元原理與應用. 潘文.

[10]. ANSYS工程分析-基礎與觀念. 李輝煌