培訓第一天——快速冪入門

1.從簡單的冪運算說起

對於一個接觸過一門編程語言的人來說，冪運算是一個最基礎的知識了，例如求2的20次方，我們只需要通過如下的代碼即可完成

int res = 1;
for (int i=0; i<20; i++)
{
	res *= 2;
}

現在考慮一下這個問題，如果20再大點呢？ 200，20000，甚至2000000……
當然，用循環可以解決，但是花費的時間卻是以n的速度線性增長，n很大的時候，花的時間也是相當“可觀”。 這裏先插一句題外話 ，unsigned long long的最大值也就是2的64次方-1， 也就是說比這個數再大，基礎類型就已經存放不下了，如果要求2的200次方，肯定會溢出，所以這裏採取一個取模的運算，把最終的結果對1000取模，然後再輸出。
模運算
%就是取模的運算符，但如果像上面說的那樣，運算完之後再取模，這是很不現實的，當你中間算到某個值的時候，就overflow了，後面算的就都成了錯的，爲了避免這個問題，我們可以採用一個數學公式（對證明感興趣的朋友可以百度）

(A*B)%M = (A%M * B%M) % M (%一般是寫成mod，懂意思就行)

有了這個公式，我們可以在求冪的每一步都取模，這樣就不會有溢出了

接下來我們看一個例子：

	int ans = 1, num=2;
	for (int i=0; i<2000000000; i++)
	{
		ans = ans%1000 * num%1000;//求2的二十億次方
	}
	printf("%d\n", ans);

運行結果如下：

可以看出來，這花費的是時間還是相當長的，這對大型項目的影響還是很大的，很有必要提升效率！

2.快速冪

那麼，爲什麼會花這麼長的時間？肯定是由於循環的次數太多導致的。
有沒有什麼辦法減少循環的次數呢？
二十億太大了，但我們就得想辦法只循環一半次數，這樣做的代價就是要將2平方，也就是底數變成了4；
啊！ 我們成功地把循環次數減少了一半，但十億也還大，我們可以接着把4接着平方，變成16，循環次數又減少了一半……直到經過不斷地平方求出了結果！

這就是快速冪核心的思想：二分法

當然，前面說的都是感性上的認識，接着我們用一個簡單的例子嚴謹地考慮一下
比如：求2的10次方，
首先，把指數10折半，也就是要求4的5次方， 到這一步，發現5沒辦法再折半了，雖然2.5次方在數學上有意義，但是在編程上確是講不通的。這時怎麼辦呢？我們可以提出來一個4，變成4*4的四次方，保留左邊的4，右邊就可以接着折半；那，4的4次方又可以變成16的平方；接着16的平方變成256，別忘了之前提出來的4，結果就是1024.我們總共做了

2 * 2=4，4 * 4=16，16 * 16=256，256*4=1024

四次乘法，更嚴格的來說是logn次，這裏n=10，那上面的2的二十億次方，也取一下對數，大概是30次吧，這真的是太神奇了，Amazing！

好了，扯了這麼多，該看看代碼了，根據上面一步步地計算，我們不難發現一個規律，指數爲奇數時，那個底數要提出來一個跟最後的結果相乘，然後進行折半偶數的時候直接進行折半。折半的最終結果是指數變成1，
換一種說法，我們需要一個變量來保存最後的結果，在快速冪的過程中，如果指數是偶數，我們就先不用管，讓它繼續去折半(遞歸)，反正要的是最後的得數；如果是奇數的話，我們就需要去乘以這個底數（即提出一項），相當於一個保存的功能，因爲這些提出的項，最後肯定也還要乘以到結果中的。

根據上面的分析，我們來寫一下代碼

int quickPow(int x, int n, int mod)//O(logn)
{
	int ans = 1;//初始化
	while (n>0)
	{
		if (1==n%2)
			ans = ans%mod * x%mod;//取模
		n /= 2;
		x = x%mod * x%mod;
	}
	return ans;
}

代碼裏值得說明的地方：
1.除以是向下取整，無論n的奇偶性，直接除以二就行，這裏合併了兩種情況；
2.整個過程中不斷對n折半，也需要不斷對x平方，這點別忘
3.n=1的時候，就是折半結果了，剛好1也是奇數，所以循環條件是n>=1即n>0；

來測試一下這個程序， Amazing！！

3.另一種角度

理解了上面的，快速冪可以說已經學的比較到位了。爲了理解更透徹，下面就結合位運算再深入地探討一下。
分析一下上面的代碼，每一輪while循環，x都在不斷平方，x的變化過程如下：

這還看的不夠清楚，我們以3的13次方爲例，整個變化過程爲

然後模擬運行一下快速冪的程序，會發現最後ans的值爲

是不是想到了某種東西，別急，把指數補全看看

噢（恍然大悟），這不就是13的二進制展開形式嗎，就是這麼神奇！
這也就是說，我們可以用指數的二進制逐位進行判斷，1的話就跟ans相乘，0的話就接着往後走，可以想象成一個選擇過濾器，x在不斷地平方，每平方一次，都要根據指數二進制上對應的位（0或1）進行選擇性相乘，x只管走自己的，判斷讓指數來決定！
對應到代碼上改動比較小，一是把n%2 改成n&1, 二是把n%=2改成n>>=1,即移位運算符，雖然代碼差異不大，但理解確實兩個角度，直呼過癮！

int quickPow(int x, int n, int mod)
{
	int ans = 1;//初始化
	while (n>0)
	{
		if (n&1)
			ans = ans%mod * x%mod;//取模
		n>>=1;
		x = x%mod * x%mod;
	}
	return ans;

4.矩陣快速冪

最後談一下快速冪的拓展應用，冪運算也不是數字獨有的，定義了乘法的其他結構也可以，最典型的就是矩陣求冪，當然，根據線代的知識，方陣才能求冪，但這也不妨礙矩陣冪有很多的應用
先來說一下咋實現的：
問題的關鍵在於定義一個矩陣類型，然後定義它的乘法，取模等運算，到時候只需要把底數換成矩陣就行，沒有更多的要求，來看代碼：
1.矩陣類的實現

struct Matri{
    int a[15][15];
    int n;
    Matri (int N)
    {
        n = N;
        for (int i=0; i<n; i++)
            for (int j=0; j<n; j++)
                if (i==j)
                    a[i][j] = 1;
                else
                    a[i][j] = 0;
                
    }
    
    Matri operator*(Matri x)
    {
        Matri c(n);
        for (int i=0; i<n; i++)
        {
            for (int j=0; j<n; j++)
                c.a[i][j] = 0;
        }
        for (int i=0; i<n; i++)
        {
            for (int j=0; j<n; j++)
            {
                for (int k=0; k<n; k++)
                {
                    c.a[i][j] += a[i][k] * x.a[k][j];
                }
            }
        }
        return c;
    }
    Matri operator%(int x)
    {
        Matri c(n);
        for (int i=0; i<n; i++)
        {
            for (int j=0; j<n; j++)
            {
                c.a[i][j] = a[i][j]%x;
            }
        }
        return c;
    }
};

用了很多C++語言的特性，構造函數，重載運算符等，這些語言的細節就不再多說了，構造函數是在定義一個單位矩陣。
2.矩陣快速冪

Matri quickPow(Matri x, int n, int m)
{
    
    Matri res(x.n);
    while (n>0)
    {
        if (n&1)
        {
            res = res%m * x%m;
            res  = res%m;
        }
        x = x%m * x%m;
        x = x%m;
        n >>=1;
    }
    return res;
}

值得注意的一點是，在數字的快速冪中，我們的res定義的是1，是乘法的單位元，對於矩陣來說，單位矩陣便是“1”，因此，要通過構造函數建立一個單位矩陣。這點最容易出錯。

矩陣快速冪，最典型的應用就是求斐波那契數列，使複雜度降低到了logn，有些求斐波那契數列的題目會卡時間，到時候可以用矩陣快速冪進行優化。

今天的總結就先到這裏吧！