很多時候我們需要單獨計算路線某一側指定範圍的面積,由於緩和曲線的特殊性,僅僅是簡單的平均算法肯定不能滿足工程要求。現在筆者就從緩和曲線的基本特性入手,給大家推導出面積計算的精確公式,希望能幫到大家!(文中計算方法爲筆者根據緩和曲線特性原創推導,轉載請註明出處)
如圖所示,設緩和曲線平行線到緩和曲線中線的距離爲D,取緩和曲線上一小微段,小微段夾角爲θ,此處的緩和曲線半徑爲r,則有:dl=r⋅dθ;dL=(D+r)⋅dθ=(D+r)⋅rdl=(1+A2Dl)dl
面積dS=2dl+dL⋅D=2dl⋅D+2dl⋅D+2A2dl⋅D2l=Ddl+2A2D2ldl
積分後得到:S=Dl+4A2D2l2
1、對於完整緩和曲線:
S=DLS+4RLSD2LS2=DLS+4RD2LS
上述面積爲緩和曲線外側至邊線組成的面積公式,若是在內側,則:
S=DLS−4RD2LS
這說明緩和曲線段內左右側(即全寬範圍內)的邊線範圍內的曲線面積爲2DLs,與其他曲線無異,但左右側各不相同。
2、對於非完整緩和曲線(卵形曲線)
假設起點的推算完整緩和曲線長爲L1,終點的推算完整緩和曲線長爲L2,卵形曲線長度爲LF,則其面積爲推算原點到終點間面積-推算原點至起點間面積,即:
S=DL2+4A2D2L22−DL1−4A2D2L12=DLF+4A2D2(L22−L12)
而R1L1=R2L2=R1(L2−LF)⇒L1=R1−R2R2LF;L2=R1−R2R1LF
則L1+L2=R1−R2R1+R2LF
S=DLF+4A2D2⋅R1−R2R1+R2⋅LF2
而A2=CF=R1−R2R1R2LF (!!相當於RF=R1−R2R1R2!!),則有:
S=DLF+4R1R2LFD2(R1−R2)⋅R1−R2R1+R2⋅LF2=DLF+4R1R2R1+R2D2LF
(!!相當於RF=R1+R2R1R2!!)
上述面積爲卵形曲線外側至邊線組成的面積公式,若是在內側,則:
S=DLF−4R1R2R1+R2D2LF
這也說明卵形曲線段內左右側(即全寬範圍內)的邊線範圍內的曲線面積爲2DLF,與其他曲線無異,但左右側各不相同。
3、討論
一些參考書上說可以把卵形曲線看成半徑爲RF=R1−R2R1R2,緩和曲線長爲LF的完整緩和曲線,但以此來計算PF是有誤差的。而根據前述面積計算公式,又似乎可以得出RF=R1+R2R1R2。因此,此種將卵形曲線看成特殊形式的完整緩和曲線是否正確還值得進一步研究論證。