莫比烏斯反演入門(hdu 1659)

前置知識點:click具體一些簡單的證明可以自己證明一下。
具體的各項知識以及證明待更吧。。。。

題目：click
題意：給出a,b,c,d,k,求出a<=x<=b, c<=y<=d 且gcd(x,y) = k 的（x,y）的對數。 說名(5,7)和(7,5)是同一對。可以把a，c看作是1。

思路：
由上述公式，先進行分析，線性篩選求莫比烏斯函數可以直接看代碼，也比較好理解。
gcd(x,y)=k，那麼gcd(x/k,y/k)=1，其實就是找[1,x/k]和[1,y/k]裏面互質的對數，考慮到時間複雜度，只能繼續化簡。如果用歐拉函數的話，不能的確定x,y的範圍也是不行的。
設
f(d):有多少對(x,y)滿足gcd(x,y)=d
g(d):有多少對(x,y)滿足gcd(x,y)=d的倍數。
構造完直接利用反演公式代入計算。
g(d)我們可以知道的是：g(d)=$\frac {n} {d}*\frac {m} {d}$。(n,m是範圍，也就是x/k,y/k)
那麼我們去計算f(1)即可獲得答案。注意區間的端點是找相對小的那個（範圍有大小限制，d最大就是min(b/k,d/k)）以及(1,2)和(2,1)是相同的需要處理。

#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<istream>
#include<vector>
#include<stack>
#include<set>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define llinf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define MAX_len 200005*4
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PP;
const int mod=998244353;
const int MAXlen=1e5+10;
long double eps=1e-9;
int prime[100100];
int tot=0;
int mu[100100];
bool vis[100100];
void init()
{
    tot=0;
    memset(mu,0,sizeof(mu));
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    vis[0]=vis[1]=true;
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<MAXlen;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[tot++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<tot&&i*prime[j]<MAXlen;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else
            {
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            }
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    int yy=1;
    while(T--)
    {
        int a,b,c,d,k;
        scanf("%d %d %d %d %d",&a,&b,&c,&d,&k);
        if(!k)
        {
            printf("Case %d: 0\n",yy++);
            continue;
        }
        ll ans=0;
        b/=k;
        d/=k;
        int temp=min(d,b);
        for(int i=1;i<=temp;i++)
        {
            ans+=ll(mu[i]*ll(b/i)*ll(d/i));
        }
        ll sum=0;
        for(int i=1;i<=temp;i++)
        {
            sum+=ll(mu[i]*ll(temp/i)*ll(temp/i));
        }
        printf("Case %d: %lld\n",yy++,ans-sum/2);
    }
    return 0;
}