聚類係數與小世界網絡

聚類係數

聚類係數也稱爲聚集係數，源自於社會學中的“可傳遞三元組比率”，聚類係數描述了網絡中個體的鄰居節點也互爲鄰居的可能性。

節點i的聚類係數 定義爲：

表示聚集網絡中節點i，j之間的連邊，若連邊存在則 = 1，否則 = 0；通常來說，聚類係數的大小影響了網絡上的傳播動力學，當其他參數不變時，平均節點聚類係數越大，傳播越慢。

如果用來表示整體聚類係數，使用來表示圖中封閉三點組的個數，使用來比啊是開三點組的個數，則：

同樣的對於某個節點的局部聚類係數：

以上圖爲例：

封閉三點組爲：{1，(2,3)}，{2，(1,3)}，{3，(1,2)}

所有的三點組爲： {1，(2,3)}，{2，(1,3)}，{3，(1,2)}，{3，（2,4）}，{3，（4,5）}，{3，（1,5）}，{3，（2,5）}，{3，（1,4）}

對於節點k，其鄰居節點個數爲n，其所有鄰居節點可能構成的邊數爲：n*(n-1)/2; 其所有鄰居節點實際存在的邊數爲e；

則計算聚集係數爲：

即可以理解爲：鄰居節點間實際存在的邊數/鄰居節點間可能構成的邊數

整個網絡的聚類係數機位每個節點的聚類係數之和/節點個數；

小世界網絡

聚類係數是描述小世界網絡的重要參數，聚類係數大、平均路徑短的網絡被稱之爲小世界網絡。

在這種網絡中，大多數的節點不直接相連，但是卻只需要幾步就可以互相到達。用數學中圖論的語言來說，小世界網絡就是一個由大量頂點構成的圖，其中任意兩點之間的平均路徑長度比頂點數量小得多。由於小世界網絡具有高集聚係數，它的結構中不可避免地會有許多團（彼此之間兩兩相連的一小羣節點）以及只比團差幾個連接的節點羣。另一方面，任兩個結點大多會以至少一條短路徑連接着。這是要求有小的最短路徑長度平均值的結果。此外，小世界網絡常連帶地具有一些性質，不過這些性質並不是作爲這類網絡非有不可的。很典型的是這類網絡常常會出現“樞紐”（與很多節點都相連的節點）

參考文獻：

【1】楊迪，崔婧，李翔. 線下交互的動態社交網絡研究進展：挑戰與展望 [J]. 計算機學報.2019(7)

【2】熊瑤. 在線社會網絡拓撲分析及社區發現技術研究與應用 [D] .四川；西南交通大學. 2017

【3】http://blog.csdn.net/pennyliang/article/details/6838956

【4】https://www.cnblogs.com/sddai/p/10671154.html