通用算法 - [數組算法] -數組的前綴和

1、前綴和介紹

對於一個數組$A$，我們新建一個長度相等的數組$B$，新數組中的每一項$B[i]$表示的是數組$A$的前$i$項和，即
前綴和：$B$中的每一項$B[i]$保存$A[0,1,...,i]$的和;

類似的概念還有：
後綴和：$B$中的每一項$B[i]$保存$A[i,i+1,...,n-1]$的和；
前綴積： $B$中的每一項$B[i]$保存$A[0,1,...,i]$的積;
後綴積： $B$中的每一項$B[i]$保存$A[i,i+1,...n-1]$的積；

2、前綴和性質

(1)$B[i] =A[i] + (i > 1 ? B[i-1] : 0 )$;
(2)$A[i]+A[i+1]+...+A[j] = B[j] - B[i]$;

3、前綴和應用

(1) 數組分成差值最小的兩部分
尋找一個位置$p$，把數組$nums$從位置$p$分開，使得$nums[0]+nums[1]+...+nums[p]$與$nums[p+1] + nums[p+2]+...+nums[n-1]$之差的絕對值最小。
分析：這道題相當於求位置$p$，使得位置$p$的前綴和與整個數組和-位置$p$的前綴和的差的絕對值最小，即:
$minabs\{ sum[p] - (sum[n] - sum[p] \} = minabs \{ 2*sum[p] - sum[n] \}$

（2）和爲0的子數組
在數組nums中找到所有和爲0的子數組，返回這些子數組的起始和終止下標。
分析：若$nums[i] + nums[i+1] + ... + nums[j]=0$，則有$nums[0] + nums[1] + ... + nums[j] = nums[0] + nums[1] +... +nums[i-1]$，即$nums[i-1]=nums[j]$，根據這一性質，我們可以知道和爲$0$的子數組包含兩種情況：
a、位置$i$的前綴和爲$0$，子數組的起始位置和終止位置分別爲$0$和$i$；
b、位置$i$的前綴和和位置$j$的前綴和相等，子數組的起始位置和終止位置分別爲$i+1$和$j$。

（3）最接近0的子數組和
找到和最接近0的子數組。
分析：對前綴和數組進行排序，然後看相鄰排序後數組的相鄰兩個值$sum[i]$和$sum[j]$是否接近，若接近，則子數組$nums[i+1,...,j]$的和接近0.