【線性 dp】A015_LC_最長有效括號（棧 + dp / 空間壓縮）

一、Problem

Given a string containing just the characters ‘(’ and ‘)’, find the length of the longest valid (well-formed) parentheses substring.

Input: ")()())"
Output: 4
Explanation: The longest valid parentheses substring is "()()"

二、Solution

這題最樸素的做法是枚舉每一段子串，然後用棧檢查每一段子串是否合法，並記錄合法子串的長度，這種方法我試過，會超時…

方法一：棧 + dp

思路

如果當前字符 s[i] 爲右括號 )，我們很容易想到要找到一個最近的左括號 ( 與之匹配，找最近的左括號 ( 可以用變量記錄，但我們還要保存之前遇到的左括號 (，基於這一點我們要可用棧保存左括號的位置，最近的左括號就是棧頂元素

• 定義狀態：
  • $f[i]$ 表示位置 $i$ 之前的最長有效括號長度
• 思考初始化：
  • $f[0:] = 0$
• 思考狀態轉移方程：
  • $f[i] = f[j-1] + (i-j+1)（j\ 是棧頂元素)$：表示如果 $i$ 位置是右括號 $($、$j$ 位置是最接近它的左括號，那麼位置 $i$ 的長度就可以承接 $j-1$ 之前的長度，
• 思考輸出：$max(f[0:])$

class Solution {
public:
    int longestValidParentheses(string s) {
        int n = s.size(), ans = 0;
        stack<int> st;
        vector<int> f(n);

        for (int i = 0; i < n; i++) {
        	if (s[i] == '(') 
        		st.push(i);
        	else if (!st.empty()) {
        		int j = st.top(), len = i-j+1; st.pop();
        		if (j > 0) f[i] = f[j-1] + len;
        		else       f[i] = len;
        		if (f[i] > ans)
        			ans = f[i];
        	}
        }
        return ans;
    }
};

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n)$，
• 空間複雜度：$O(n)$，

最近我都在用 C++ 做，真的很方便丫丫，大愛 C++

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方法二：空間壓縮

既然 dp 數組的值就是最長有效括號的長度，我們又知道有效括號的最小長度爲 2，所以我們可以用索引 $i$ 減去 dp 的值來判斷在 $i$ 位置前是否存在有效括號（i-dp[i-1] > 0 表示存在），這樣可以把棧空間省去…

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n)$，
• 空間複雜度：$O(n)$，