關於二項式反演的一些思考
今天T2考了二項式反演，轉化之後要求的是n個非負整數的和爲m，求其中有至少k個數\(\geq l\)的方案數。
感覺是二項式反演，然後一看題解——至少是恰好的後綴和，仔細想想也沒什麼問題。可之前看的二項式反演博客裏至少和恰好都是這樣的關係：
\[f(i)_\text{至少}=\sum_{j\geq i}^n {j\choose i} g(j)_\text{恰好}
\]
想了一會之後發現，二項式反演的“至少“不太像”至少"，而應該是”欽定“的關係。在這道題中，\(k+1\)個數\(\geq l\)的方案減去\(k\)個\(l\)成爲被組合數統計的非負整數插板，就有\(k+1\choose k\)種情況。由於一種方案可能有多種欽定情況，也就不是後綴和而是二項式反演的組合數加權和形式。
所以應該是
\[f(i)_\text{欽定}=\sum_{j\geq i}^n {j\choose i} g(j)_\text{恰好}
\]