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Agda學習筆記1
好久沒寫博客了，詐屍一波。
說句題外話，期中有點小爆炸，開始後悔選實驗班了。要讀信科的後輩諸君，我勸你選計概A普通班拿4.0。
開學的時候老是想着多學點東西，現在：績點績點績點
快捷鍵
- C-c C-l : 加載，把問號轉換成goal
- C-c C-f/C-b : 在goal之間切換
- C-c C-, : goal&context
- C-c C-. : goal&context&type
- C-c C-r : refine 有時可以自動填充
- C-c C-c spilt:
- 直接回車：補上變量
- 輸入變量：把這個變量解釋成所有定義
- C-c C-a : 自動填充（一般用不上）
refl
表示左右相等
Natural Number
自然數集合
data \(ℕ\) : Set where
zero : \(ℕ\)
suc : \(ℕ \rightarrow ℕ\)
即只能從這兩條推出其他的性質
解釋一個 ℕ 變量的時候就會展開成這兩個元素
operations
-
\(\_+\_ : ℕ → ℕ → ℕ\)
zero + n = n
suc m + n = suc (m + n)
-
\(\_*\_ : ℕ → ℕ → ℕ\)
zero * n = zero
suc m * n = n + (m * n)
-
\(pred : ℕ → ℕ\)
pred 0 = 0
pred (suc n) = n
rewrite
大概是用於遞歸的一個東西，相當於把rewrite的東西帶入原式
cong
cong f : 把 f 添加到左右兩邊
例：
+0 : ∀ (y : ℕ) -> y ≡ y + zero
+0 zero = refl
+0 (suc y) = cong suc (+0 y)
加法結合律
+assoc : ∀ (x y z : ℕ) → x + (y + z) ≡ (x + y) + z
+assoc zero y z = refl
+assoc (suc x) y z rewrite +assoc x y z = refl
就是運用suc對+的結合律
加法交換律
依舊是利用suc遞歸...
+suc : ∀ (x y : ℕ) → suc x + y ≡ x + suc y
+suc zero y = refl
+suc (suc x) y rewrite +suc x y = refl
+comm : ∀ (x y : ℕ) → x + y ≡ y + x
+comm zero y = +0 y
+comm (suc x) y rewrite +comm x y = +suc y x
也可以用rewrite這樣寫：
+comm : ∀ (x y : ℕ) → x + y ≡ y + x
+comm zero y = +0 y
+comm (suc x) y rewrite +comm x y | +suc y x = refl
rewrite加豎線就是從左到右替換
乘法分配律
同上
*distribr : ∀ (x y z : ℕ) → (x + y) * z ≡ x * z + y * z
*distribr zero y z = refl
*distribr (suc x) y z rewrite *distribr x y z | +assoc z (x * z) (y * z) = refl
比較大小
_<_ : ℕ → ℕ → 𝔹
0 < 0 = ff
0 < (suc y) = tt
(suc x) < (suc y) = x < y
(suc x) < 0 = ff
_=ℕ_ : ℕ → ℕ → 𝔹
0 =ℕ 0 = tt
suc x =ℕ suc y = x =ℕ y
_ =ℕ _ = ff
_≤_ : ℕ → ℕ → 𝔹
x ≤ y = (x < y) || x =ℕ y
_>_ : ℕ → ℕ → 𝔹
a > b = b < a
_≥_ : ℕ → ℕ → 𝔹
a ≥ b = b ≤ a
注意相等是 _=ℕ_
衍生的一些證明
其實上面的定義不用記，反正也會忘
寫作業和考試前看看就好了
<-0 : ∀ (x : ℕ) → x < 0 ≡ false
<-0 0 = refl
<-0 (suc y) = refl
𝔹-contra : false ≡ true → ∀{ℓ} {P : Set ℓ} → P
𝔹-contra ()
<-trans : ∀ {x y z : ℕ} → x < y ≡ true → y < z ≡ true → x < z ≡ true
<-trans {x} {0} p1 p2 rewrite <-0 x = 𝔹-contra p1
<-trans {0} {suc y} {0} p1 ()
<-trans {0} {suc y} {suc z} p1 p2 = refl
<-trans {suc x} {suc y} {0} p1 ()
<-trans {suc x} {suc y} {suc z} p1 p2 = <-trans {x} {y} {z} p1 p2
其中 () 代表荒謬匹配，即出現 false==true 時就可以直接寫 ()，也可以像第一條一樣，用大括號加上（必要的）參數之後用定義的 𝔹-contra（有點搞不懂原理）
=ℕ-refl : ∀ (x : ℕ) → (x =ℕ x) ≡ tt
=ℕ-refl 0 = refl
=ℕ-refl (suc x) = =ℕ-refl x
=ℕ-from-≡ : ∀ {x y : ℕ} → x ≡ y → x =ℕ y ≡ tt
=ℕ-from-≡ {x} refl = =ℕ-refl x
也可以用 refl 替換一個等式
begin-qed
一種語法，如下：
+0 : ∀ (y : ℕ) -> y ≡ y + zero
+0 zero = refl
+0 (suc y) =
begin
suc y
≡⟨ cong suc (+0 y) ⟩
suc (y + zero)
≡⟨⟩
suc y + zero
∎
<>裏的是依據，某些根據定義的依據可以不用寫(如zero+x=x)
作業題
乘法交換律
慘淡的證明：
+assoc' : ∀ (x y z : ℕ) → (x + y) + z ≡ x + (y + z)
+assoc' x y z rewrite +assoc x y z = refl
*0 : ∀ (x : ℕ) → zero ≡ x * zero
*0 zero = refl
*0 (suc x) = *0 x
*suc : (x y : ℕ) → x + x * y ≡ x * suc y
*suc zero y = refl
*suc (suc x) y rewrite +assoc x y (x * y) | +comm x y | +assoc' y x (x * y) | *suc x y = refl
*-comm : (x y : ℕ) → x * y ≡ y * x
*-comm zero zero = refl
*-comm zero (suc y) = *-comm zero y
*-comm (suc x) y rewrite *-comm x y = *suc y x
優化：使用 sym x == y -> y == x，即把+assoc' y x (x * y) 換成 sym ( +assoc y x (x * y) )
乘法結合律
精簡的證明：
*-assoc : (x y z : ℕ) → (x * y) * z ≡ x * (y * z)
*-assoc zero y z = refl
*-assoc (suc x) y z rewrite *distribr y (x * y) z | *-assoc x y z = refl
一些比較大小
n≮n : (n : ℕ) → n < n ≡ false
n≮n zero = refl
n≮n (suc x) = n≮n x
-- problem 2.2
<-antisym : (x y : ℕ) → x < y ≡ true → y < x ≡ false
<-antisym zero (suc y) p1 = refl
<-antisym (suc x) (suc y) = <-antisym x y
-- problem 2.3
<-trichotomy : (x y : ℕ) → x < y ∨ x =ℕ y ∨ y < x ≡ true
<-trichotomy zero zero = refl
<-trichotomy zero (suc y) = refl
<-trichotomy (suc x) zero = refl
<-trichotomy (suc x) (suc y) = <-trichotomy x y