作者：i_dovelemon
日期：2020-10-11
主題：Atmospheric Scattering, Volume Scattering, Rayleigh Scattering, Mie Scattering, Single Scattering, Multiple Scattering
Introduction
Atmospheric Scattering(大氣散射)，是很多 3A 大作的標配。好的大氣系統，能夠給遊戲帶來很好的體驗，諸多的遊戲都花費了大量的精力來構建一整套複雜的大氣系統。
一般來說，一個大氣系統至少要包含：天空渲染（Sky Rendering），雲層渲染（Cloud Rendering）和各種光線效果（Light Shaft, Volumetric Lighting）等。
今天這篇文章，主要是想和大家聊聊天空渲染（Sky Rendering）的部分，希望通過幾篇文章，講解清楚天空渲染（Sky Rendering）背後的知識以及相關實現的方法。
Volume Scattering
在具體講解 Sky Rendering 之前，我們先來了解一下 Volume Scattering 相關的知識。
學過渲染的同學可能都知道，物體渲染的方式主要分爲兩個大的類別：一種是基於物體表面（Surface）進行建模的渲染，比如石頭，建築，角色等等大量的物體都是採用這種方式進行渲染。除此之外，還有一種基於體積（Volume）的渲染方式，比如煙，霧，雲等等通過大量微小顆粒聚集而成的物體就需要採用這種方式進行渲染。
基於體積的渲染和基於表面的渲染之間的區別在於，基於表面的渲染是假設物體處在真空當中，表面與表面之間的光線是以一種不會發散，衰減的方式進行傳播的。當然現實世界中的物體都不是如此的，空氣中存在大量的微小顆粒，這些顆粒會導致光線在傳播過程中發生散射（Scattering）。
對於 Sky Rendering 來說，由於大氣中存在了大量的粒子，太陽光線經過大氣，傳播進入眼睛之後就經過了這樣的一系列散射過程。所以，Sky Rendering 就是一種基於體積的渲染方式。
Volume Scattering Process
這裏介紹一些基本的 Volume Scattering 的概念。首先整體上描述下 Volume Scattering 包含了哪些部分：
| Absorption | 光線在傳播過程中，碰撞到物體的時候，一部分能量會轉換成爲熱能的形式丟失 |
| Emission | 光源物體，會增加新的光線到環境中去 |
| Scattering | 光線在傳播過程中，碰撞到物體的時候，從一個方向散射到另外一個方向上去 |
其中，Absorption 和 Emission 比較簡單，容易理解，這裏不再贅述。但是對於 Scattering 部分，就比較複雜。
對於觀察者來說，直接向觀察者照射的光線在傳播過程中，會由於散射到其他方向，導致一部分的能量丟失。這部分稱之爲 Out-Scattering，如下所示：
同樣的，由於 Scattering，一些原本不會直接照射到觀察者眼中的光線也會被散射進來，導致一部分的能量增加。這部分稱之爲 In-Scattering，如下所示：
由於 Absorption 和 Out-Scattering，都會導致光線在傳播過程中能量丟失，所以將這兩部分丟失能量合在一起，稱之爲 Attenuation 或者 Extinction。
Extinction 表示的是單個點的能量衰減程度，那麼對兩個點之間線段上能量的衰減，我們使用一個 Transmitance 來表示，即經過該段線段之後，由於 Absorption 和 Out-Scattering 只有一部分光線傳輸出去，如下圖所示：
對於表面渲染來說，我們使用 BRDF 表示入射光線有多少被反射到指定的方向上去。同樣的，對於體積渲染來說，也有類似的表示，我們稱之爲 Phase Function，它定義了向某個特定方向散射的概率分佈情況。
這裏只是簡單的，概念性的介紹了體積渲染相關的知識，更多的細節可以查看參考文獻 [1] 進行了解。
Sky Rendering
前面介紹了一點 Volume Scattering 相關的背景知識。由於天空主要是有各種顆粒組成的，所以對天空的渲染，實際上就是體積渲染。
知道了渲染的方式，那麼接下來，我們需要對大氣進行建模，以便於瞭解它的組成，從而配合體積散射相關的理論，進行最終的渲染。
Atmospheric Model
大氣實際上是一層包裹着地球的一團氣體，天空的顏色就主要是太陽光照射到這層氣體，進行散射之後所呈現出來的。
這層氣體具有一定的厚度，所以我們將整個大氣建模成一個包裹着地球的具有一定厚度的空心球殼。
同時大氣中顆粒密度並不是均勻分佈的，大體上來說，隨着海拔的升高，顆粒密度越來越低。我們通過一個名爲 Density Ratio 的函數來描述這種隨海拔升高，密度下降的特性。
大氣中存在各種各樣的粒子，它們的光學性質並不相同。爲了簡化問題，主要將大氣粒子分爲兩種大類：Air Molecules 和 Aerosols。
Air Molecules 表示大氣中較小的粒子，通過 Rayleigh Scattering 模擬散射情況。
Aerosols 表示大氣中較大的粒子，通過 Mie Scattering 模擬散射情況。
如下圖是這種大氣模型的概念示意圖：
其中，Re = 6360 km，表示的是地球的半徑。Ra = 6420 km 表示的是大氣的半徑。數據來源於參考文獻 [2]。
Sky Color
對大氣進行建模之後，我們需要知道怎麼去渲染大氣。通常我們使用一個後處理 Pass 來渲染天空作爲場景的背景。那麼對於每一個像素來說，它所呈現的顏色是來源於什麼了？
對於每一個像素來說，我們都可以從觀察者位置投射出一條觀察射線，觀察射線會與大氣層相交，而在整個相交的線段上面，所有的大氣顆粒都可以通過對太陽光散射的形式貢獻顏色，如下圖所示：
觀察射線與大氣層相交得到 AB 線段，對於 AB 線段上的任意一點 P 來說，都可能通過散射在 PA 方向貢獻一部分光照。
所以對於像素的顏色來說，我們就需要計算出這條 AB 線段上每一個點 P 向 PA 方向上散射出來的光照的總和，該總和值，就是當前像素的顏色。
Atmospheric Scattering Equation
正如前面一節所說的，像素的顏色是 AB 線段上所有點 P 在 PA 方向散射出來的光照的總和。假設我們已經知道了點 P 接受的光照強度爲 $I_p$，那麼有多少的光照強度被散射向 A 點了？定義如下公式來表達：
$$I_{out} = I_p * S(\lambda ,\theta ,h)$$(Eq 1)
其中 $S(\lambda ,\theta ,h)$ 表示了有多少光照強度被散射向 PA 方向，即大氣散射函數（Atmospheric Scattering Equation）。
值得注意的是，這裏只是討論了有多少被散射向 PA 方向，並不是說 A 點接受了多少來自 P 點的光照強度。注意區分這裏的細微差別。原因在於，P 點散射向 PA 方向的光照強度，經過 PA 線段的大氣層之後，也會有衰減發生。
而 $S(\lambda ,\theta ,h)$ 的定義如下所示：
$$S(\lambda ,\theta ,h)=\beta (\lambda ,h) * \gamma (\theta)$$(Eq 2)
其中：
$\beta (\lambda ,h)$ 表示的是，由於 Out-Scattering 導致了有多少能量被散射向各個方向上去，我們稱之爲散射係數（Scattering Coefficient）；
$\gamma (\theta)$ 表示的 Phase Function，即在 $\theta$ 角度方向上散射出去的概率；
$\lambda$ 表示的是光線的波長，不同的波長散射係數可能並不一致，對普通渲染來說，即對光照的 RGB 分量分別有不同的散射係數；
$h$ 表示的是海拔高度，前面 Atmospheric Model 一節已經說過，隨着海拔高度的不同，大氣密度不同，所以散射係數也並不相同；
$\theta$ 表示的是點 P 處接受的光線入射方向與散射方向 PA 的夾角，如下圖所示：
這兩個函數組合在一起，就描述了點 P 處有多少光照強度反射向了 A 點。
Scattering Coefficient
從上面一節中我們得知：$\beta (\lambda ,h)$ 表示的是在海拔高度 $h$ ，光線波長 $\lambda$ 處的散射係數。前面提到過大氣模型中，大氣密度是隨着高度慢慢變的稀薄，所以爲了模擬這種關係，提出了一個 Denstiy Ratio 的函數來描述這種關係。
而這種關係主要就體現在散射係數中，所以我們可以將散射係數的函數拆分成如下兩個函數的組合：
$$\beta (h,\lambda )=\beta (0,\lambda) * \rho (h)$$(Eq 3)
其中：
$\beta (0,\lambda)$ 表示的是海拔高度 0 處的散射係數；
$\rho (h)$ 表示的是隨海拔高度變化的 Denstiy Ratio 函數，完整定義如下所示：
$$\rho (h)=e^{-\frac{h}{H}}$$(Eq 4)
其中：
$H$ 表示的大氣的平均密度所在的高度，一般稱之爲 Scale Height。
我們之前說過，大氣中粒子成分過於複雜，所以分爲了兩個大類，分別使用 Rayleigh Scattering 和 Mie Scattering 進行模擬。爲此上面提到的幾個數據都分別給出 Rayleigh 和 Mie 的參數：
| Type | $\beta (0,\lambda)$ | $H$ | |
| Rayleigh | R | 3.8e-6f | 7994m |
| G | 13.5e-6f | ||
| B | 33.1e-6f | ||
| Mie | R | 21e-6f | 1200m |
| G | 21e-6f | ||
| B | 21e-6f | ||
數據來源與參考文獻 [2]
Phase Function
回憶之前說到的 Atmospheric Scattering Equation:
$$S(\lambda ,\theta ,h)=\beta (\lambda ,h) * \gamma (\theta)$$(Eq 2)
目前只剩下了最後一個 $\gamma (\theta)$ 沒有說明了。之前介紹 Volume Scattering 的時候說過，這個函數是 Phase Function，用於表示在指定方向上，光線散射出去的概率。
同樣的，這裏也給出 Rayleigh Scattering 和 Mie Scattering 對應的 Phase Function：
| Type | $\gamma (\theta)$ |
| Rayleigh |
$\gamma (\theta) = \frac{3}{16 \pi}(1 + \mu^{2})$ $\mu = \cos \theta$ |
| Mie |
$\gamma (\theta) = \frac{3}{8 \pi}\frac{(1-g^{2})(1+\mu^2)}{(2+g^2)(1+g^2-2g\mu)^{\frac{3}{2}}}$ $g=0.76$ $\mu = \cos \theta$ |
數據來源與參考文獻 [2]
Transmittance Function
前面一節，講述了線段 AB 上點 P，在接受到入射光 $I_p$ 的情況下，有多少關照強度被散射到 PA 方向上去。之前說過，這裏只是計算了有多少被散射到 PA 方向，而達到 A 點處的並不是這麼多。由於大氣的原因，在 PA 路徑上依然會發生散射的現象，這就導致了達到 A 點的將小於 P 點散射向 PA 方向上的光線。而根據前面基礎概念一節中的接受，這個比例關係我們通過一個名爲 Transmittance Function 的函數來描述，如下所示：
$$I_a = I_{pa}*T_{pa}$$(Eq 5)
而，
$$T_{pa}= e^{-{\int_{0}^{d}\beta(h)}ds}$$(Eq 6)
公式來自參考文獻 [1]
其中 $d$ 表示 PA 之間的距離，$e$ 是自然數。
實際上，Transmittance Function 描述了任意兩個點之間，由於大氣散射導致的能量衰減所剩餘的光照比例，不僅可以描述上述 P 點到 A 點路徑上能量的衰減情況，也可以描述空間中任意兩點之間的衰減。
Single Scattering vs Multiple Scattering
根據前面兩節的描述，我們知道了 AB 線段上任意一點 P 在經過大氣散射之後，達到 A 點的光照能量爲：
$$I_a = I_p * S(\lambda ,\theta ,h) * T_{pa}$$(Eq 7)
前面兩節已經講述了 $S$ 和 $T$ 是什麼，現在唯一剩下的就是 $I_p$ 本身了。
這裏就要涉及到 Single Scattering vs Multiple Scattering 了。對於 Single Scattering 來說，$I_p$ 可以認爲只有太陽光 $I_{sun}$ 到 P 點這條散射路徑會做出光照貢獻。
而對於 Multiple Scattering，情況就很複雜了。由於太陽光進入大氣之後，會被粒子散射，導致光照方向進行多次改變，所以不僅僅有太陽光直接入射到 P 點的光照，也會有空氣中粒子對其他方向的太陽光經過多次散射之後，反射而來的光照。
這裏，爲了簡化問題，降低實現難度，我們只考慮 Single Scattering。也就是說，
$$I_p = I_{sun} * T_{cp}$$(Eq 8)
其中，$T_{cp}$ 表示的 CP 線段上的衰減 Transmittance。C 點爲太陽光入射向量與大氣層最外圍相交的點。
將 Eq 8 帶入 Eq 7 即可得到太陽光 $I_{sun}$ 入射向點 P，講過 PA 方向散射之後，到達 A 點所剩餘的光照：
$$I_a = I_{sun} * T_{cp} * S(\lambda ,\theta ,h) * T_{pa}$$
Sky Rendering Equation
前面幾節，完整的講述了 Single Scattering 下，AB 線段上任意一點 P 經過太陽的入射和大氣的衰減，最終達到 A 點的光照強度。但是最開始的時候，我們也講述了，天空的顏色實際上是 AB 線段上所有點貢獻的最終結果。單單一個 P 點的結果，還是無法得到最終的顏色，我們需要累積 AB 線段上所有點 P反射到 A 上的光照能量的總和，纔是最終需要顯示的天空的顏色，即：
$$I_{final}=\int_{A}^{B}{I_{sun} * T_{cp} * S(\lambda ,\theta ,h) * T_{pa}}$$
這個公式，即爲最終需要計算視線沿着 AB 方向所看到的天空的顏色。
Conclusion
本篇文章主要講述了天空渲染背後的理論知識以及相關的數學原理。當然很多公式背後的原理並沒有給出來，一方面是篇幅有限，另外一方面是我自己也沒有搞明白是怎麼推導出來的。作爲程序員，我這裏只是幫助大家梳理清楚和最終實現最接近的數學原理，更深層次的原理，感興趣的可以根據參考文獻繼續瞭解。強烈建議閱讀參考文獻[2]和[3] 來了解更多相關的背景知識。
接下來的一篇文章，將向大家展示如何實現這裏的數學公式，從而渲染處題圖所示的天空出來。
Reference
[1] Physically Based Rendering From Theory to Implementation Third Edition