數學歸納法Mathematical Induction

數學歸納法的一般步驟：

1證明基本情況（通常是n=1的時候）是否成立；

2假設n=k-1成立，再證明n=k也成立（k爲任意大於1的自然數）。

數學歸納法（Mathematical Induction, MI）是一種數學證明方法，通常被用於證明某個給定命題在整個（或者局部）自然數範圍內成立。除了自然數以外，廣義上的數學歸納法也可以用於證明一般良基結構，例如：集合論中的樹。這種廣義的數學歸納法應用於數學邏輯和計算機科學領域，稱作結構歸納法。

在數論中，數學歸納法是以一種不同的方式來證明任意一個給定的情形都是正確的（第一個,第二個，第三個，一直下去概不例外）的數學定理。

雖然數學歸納法名字中有“歸納”，但是數學歸納法並非不嚴謹的歸納推理法，它屬於完全嚴謹的演繹推理法。事實上，所有數學證明都是演繹法。

原理

最簡單和常見的數學歸納法是證明當 n等於任意一個自然數時某命題成立。證明分下面兩步：

1. 證明當 n= 1時命題成立。
2. 假設 n= m時命題成立，那麼可以 推導出在 n= m+1時命題也成立。（ m代表任意自然數）

這種方法的原理在於：首先證明在某個起點值時命題成立，然後證明從一個值到下一個值的過程有效。當這兩點都已經證明，那麼任意值都可以通過反覆使用這個方法推導出來。把這個方法想成 多米諾效應也許更容易理解一些。例如：你有一列很長的直立着的多米諾骨牌，如果你可以：

1. 證明第一張骨牌會倒。
2. 證明只要任意一張骨牌倒了，那麼與其相鄰的下一張骨牌也會倒。那麼便可以下結論：所有的骨牌都會倒下。

   證明1：舉例證明下面的定理

    ——等差數列求和公式

   第一步，驗證該公式在   n = 1  時成立。即有左邊= 1，右邊=

    =1，所以這個公式在 n  =   1時成立。

   第二步，需要證明 假設 n  =   m  時公式成立，那麼可以 推導出 n  =   m+1 時公式也成立。步驟如下：

   假設 n  =   m  時公式成立，即

    （等式1）

   然後在等式兩邊 同時 分別加上 m  + 1 得到

    （等式2）

   這就是 n  =   m+1 時的等式。我們下一步需要根據 等式1證明 等式2 成立。通過因式分解合併，等式2的右邊

   也就是

   這樣我們就完成了由n=m成立推導出n= m+1成立的過程，證畢。

   結論：對於任意自然數 n，公式均成立。

   對於以上例2的分析

   在這個證明中，歸納的過程如下：
3. 首先證明n=1成立。
4. 然後證明從n=m 成立可以推導出n= m+1 也成立（這裏實際應用的是 演繹推理）。
5. 根據上兩條從n=1 成立可以推導出n=1+1，也就是n=2 成立。
6. 繼續推導，可以知道n=3 成立。
7. 從 n=3 成立可以推導出n=4 也成立……
8. 不斷重複3的推導過程（這就是所謂 “ 歸納”推理的地方）。
9. 我們便可以下結論：對於任意非零自然數 n，公式成立。