高等數學整理

極限

極限的定義：在自變量的同一變化過程x -> x0 或x -> ∞中，函數f(x)具有極限A的充要條件是f(x) = A + å，其中å是無窮小。

如何理解同一變化過程。

這裏只有當x無限趨近於無窮大時，å的極限才爲0，若x無限趨近於1的時候，很明顯，å的極限就不爲0

無窮大

設函數f(x)在點x0點某一去心鄰域內有定義(或|x|大於某一正數時有定義)，如果對於任意給定的正數M(無論它多麼大)，總存在正數∂(或正數X)，只要x滿足不等式0 < |x - x0| < ∂(或|x| > X)時，對應的函數值f(x)總滿足不等式|f(x)| > M，那麼函數f(x)是當x -> x0(或x -> ∞)時的無窮大。

無窮大指的是函數值的無窮大。無窮大不是一個具體的數，根據極限定義，函數值趨近於無窮大時極限值是不存在的，但是爲了表述函數的這一性態，通常也會說函數的極限是無窮大，記爲或

在自變量的同一變化過程中，如果f(x)爲無窮大，那麼爲無窮小。如果f(x)爲無窮小，且f(x)≠0，那麼爲無窮大。

判斷極限是否存在

上圖是的圖像，它是一個沒有間斷點，連續的曲線，它是一個基本初等函數，實際上所有的基本初等函數在定義域內都是連續的，所有的連續函數，都是有極限的。的極限就是1.基本初等函數包含冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數這五種函數。而初等函數是這些基本初等函數進行有限次四則運算和有限次的函數複合所構成的函數，稱爲基本函數。

這個函數的圖像變化如下所示

由於它並不是一個連續的函數，所以它不存在極限

的函數圖像如下

這裏x -> ∞，它總是一個週期性變化的圖像，所以它不存在極限值；但是如果這裏x -> 3，則存在一個極限值,就是sin3。

的函數圖像如下

由於它也是不連續的函數，所以它不存在極限。

極限運算法則

• 有限個無窮小之和仍然是無窮小
• 有限函數與無窮小的積仍然是無窮小，比如sin(x)就是一個有限函數，它的範圍在-1和1之間
• 有限個無窮小之積仍然是無窮小
• 如果lim g(x)存在，c爲常數，則lim[cg(x)] = clim g(x)
• 如果lim g(x)存在，n爲正整數，則
• 有數列。如果，則有
  • 當≠0(n=1,2,...)且B≠0時，

求數列或函數的極限，我們來看一個例子

分子、分母同時除以x,則有

這裏分母的極限是3，分子的極限是∞，所以最終結果爲∞。

首先先進行約分，所以最終結果爲6

因此我們有這樣一個結論，當p,q爲非負整數

現在我們來看一個有趣的問題，一隻青蛙在一口10米的深井，它第一天跳5米(不下滑)，以後每一次因爲體力下降，跳的高度是上一次的一半，問青蛙跳多少天能跳出這口井

我們來看一下這隻青蛙每天跳的高度是多少，5、2.5、1.25、...、，這裏的n爲天數。

這是一個等比數列，求和公式爲，q是公比爲1/2，a1就是5，n天后一共跳了，由這個式子我們可以看出，只有0.5的n次冪趨近於0的時候，也就是n趨近於∞的時候，它纔可以等於10.即，所以我們的答案是青蛙跳不出這口井。

這裏需要說明的是，如果青蛙每天跳的高度小於等於5米，比如4.99999999米或者5米，它都是跳不出來的。但只要大於5米，比如5.00000001米，它就可以跳出來，這是一個對我們啓發很大的量變到質變的意義。

兩個重要的極限

我們來看一個銀行存錢的利率結算的問題，當然我們這裏的示例在現實中是不可能存在的。如果你手上有1萬元，有幾家銀行可以存款，第一家收益按照5年結算，5年利率爲1;第二家按照每年結算，年利率爲20%；第三家按照季度結算，季度利率爲5%；第四家按照月結算，月利率爲(5% ÷ 3)，5年時間內問錢存哪家銀行更划算？

1. 第一家:    1(1+1) = 2
2. 第二家:    ，這裏指數5代表5年，1÷5=20%
3. 第三家：    ,這裏指數20代表5年有20個季度，1÷20=5%
4. 第四家：    ，這裏指數60代表5年有60個月，1÷60=5%÷3

如果銀行把結算週期無限減少，那麼錢是否會無限增多呢？這其實就是求極限的問題

，我們現在並不知道這個極限是否存在。

極限存在準則

• 準則1

若數列滿足從某項起，當n > 時，有，且，則極限存在且，這個我們又稱爲夾逼準則

• 準則2

單調有界數列必有極限。

我們先來看一下的單調性，根據二項式的展開式其中爲，則有

通過對和的比較，我們發現除了常數項2後面的每一項，都比要小，而且還多了一項，所以，則一定是單調遞增的。而又有

我們可以看出是有界的，所以它一定存在極限。這個極限值爲一個無理數，即

，這個e叫做自然對數。函數的圖像爲

從這個圖像可以看出n在正數部分，無論n多麼大，或者叫n趨近於∞，錢數都趨近於e

我們再來看這樣一個極限

我們先來看這樣一個圖，圖中有一個半徑爲1的1/4個圓，OC是一條射線，A是OC與該1/4圓的交點。CB垂直於橫軸，AD垂直於橫軸。

令x=AOB，則有，這裏S爲面積。則有

等式的最左邊cos x，當x趨近於0的時候，極限爲1；等式的最右邊是一個常數1，極限肯定也爲1。根據夾逼準則，則有

函數的圖像如下

它主要用於電子信息領域的採樣，會在傅立葉變換中說明。

函數連續性

無窮小的比較

都是無窮小的時候，是可以比較的。我們假設a、b都是無窮小

1. 若，則b是比a高階的無窮小，記爲b = o(a)
2. 若，則b是比a低階的無窮小
3. 若，則b與a是同階的無窮小
4. 若，則b與a是等階無窮小，記爲a ~ b
5. 若，m>0，則b是關於a的m階無窮小

現在我們給出一些同階無窮小的結論

2. ln(1 + x) ~ x

等階無窮小用來表示近似，在某些情況下它們可以互相代替。

左右極限

趨近一個數的時候可以從左右兩個方向趨近

比如這個分段函數，它的函數圖像如下

那麼它的左極限，右極限。這裏我們可以看到，這個函數在x=0的時候爲0，那麼爲什麼它的左右極限不等於0呢？其實左極限和右極限在函數在這個點的值是沒有關係的。

判斷函數在某點處連續性判定：左極限=右極限=該點函數值

一切初等函數在其定義域內都是連續的

我們來看一個例子，函數在(-∞,+∞)內連續，則b爲多少？

當x=0的時候，它的右極限爲1，左極限爲b，則b=1

函數在x=0處連續，則a和b滿足的關係式是？

在x=0處，它的左極限是2a,之前我們知道，所以它的右極限是b，所以b=2a

一元函數的導數與微分

切線

我們先來看這樣一個函數的圖形

這個圖形中的綠線就是它的函數曲線，同時我們還做了很多其他的線，其中AB、AC、AD是這個函數曲線的割線，我們可以看到B、C、D是不斷靠近於A的，當這個割線的點與A重合時，有一條AH的線，這條線就是這個函數曲線的切線。

割線斜率    ，以AB這條割線爲例，這裏的分母h是自變量的增量，就是9-3=6，也就是AE這條線段；而分子f(x+h)-f(x)就是0.1*9^2-0.1*3^2=8.1-0.9=7.2，也就是BE這條線段。所以最終斜率就是7.2÷6=1.2。

同理，AC的割線斜率就是CF / AF = 1；AD的割線斜率就是DG / AG = 0.8。我們可以看到隨着割點B不斷向C、D運動的過程中，它的斜率是不斷減小的。那如果割點與A點重合的時候，切線的斜率是多少呢？這其實就是一個求極限的問題了。

切線斜率    ，這個斜率絕對值越大，直線越陡峭。

導數定義

，這裏的表示的是一個常量點，那麼所有的常量點的導數就構成了導函數

，導數就是平均變化率的極限。

y=f(x)的導數可以記爲

可導與函數連續性的關係

由導數的定義以及極限的充要條件——函數f(x)具有極限A的充要條件是f(x) = A + å推導可得(這裏的å(h)即表示無窮小，A即爲導數,f(x)即爲)

在最後一個式子中，h可以理解爲增量，當增量趨近於0的時候，函數的變化量爲0，就可以表示該函數是一個連續函數。

結論就是如果函數在某個點可導，那麼它一定在這個點連續。

但是函數在某個點連續，卻不一定可導。比如

y = |x - 1|,該函數的圖形如下

它在x=1的地方是不可導的，我們來看一下該函數在x=1的時候導函數的左右極限

導函數右極限

導函數左極限

因爲該函數的導函數左右極限不相等，所以雖然該函數是連續的，但是卻是不可導的。

最後總結就是函數可導必定連續，但是連續不一定可導。

求導公式

首先我們來看兩個等階無窮小

根據等階無窮小的定義，我們將它們相除

第一步，ln a是一個常數，根據極限的運算法則，可以將其提前。第二步，根據對數的指數外提轉化公式獲得。第三步，根據所得。第四步，是兩個互爲底的對數相乘。所以這是一個等階無窮小。則有，這裏必須是x趨近於0.

這個推導前面都很簡單，最後一步是根據上面的得來。則有當a=e的時候

要證明這兩個的等階無窮小，依然是相除，第一步將常量1/a提前；第二步分子、分母同時乘以；第三步根據極限運算法則以及對數的指數外提轉化公式所得；第四步根據上面的得來。

簡單函數求導

• 冪函數求導

這裏第一步根據兩個數的m次冪等於這兩個數分別m次冪後再相乘得到，比如x+h乘以1/x等於(x+h)^m乘以(1/x)^m；第二步則得到。

• 正弦函數求導

這裏第一步根據正弦函數的和差化積公式得到；第二步，我們將分子的2放到分母中得到分母爲h/2，再根據，最後就是求當h趨近於0的極限，代入可得cos x。

• 餘弦函數求導

這裏第一步根據餘弦函數的和差化積公式得到；第二步，我們將分子的2放到分母中得到分母爲h/2，再根據，最後就是求-當h趨近於0的極限，代入得-sin x。

• 指數函數求導

這裏第一步將a^x提前可得；第二步將分子分母同時乘以ln a，再根據可得最終結果。

• 對數函數求導

這裏第一步根據以及分子分母上下同時乘以1/x得到；第二步分子分母同時除以ln a，再根據得到。

函數的和、差、積、商求導

反函數求導

例如設x = sin y,則y = arcsin x爲其反函數

複合函數求導

u=g(x)在點x可導，y=f(u)在點u=g(x)可導，

這裏不能簡單的認爲兩個du可以約去。

證明：

這裏推導的第二步是極限的充要條件，表示無窮小。最後一步，趨近於0的時候，=0，得到

求導公式應用示例

這是一個複合函數，根據複合函數的求導公式，則有，再根據兩個導數相乘的公式，再根據=cos x，這裏需要注意的是sin 3x也是一個複合函數，即sin u和u =3x的複合。3x的導數爲((3(x + h)) - 3x)/h = 3，即式子左邊部分爲，爲cos xsin x + sin xcos x=2sin xcos x，所以右邊爲

根據以及複合函數求導公式可得

求函數在點x=2處的切線方程和法線方程

根據冪函數的求導公式，則有，我們將x=2代入

切線方程：斜率k爲4

由切線方程y-y0=k(x-x0)，有y - 4 = 4(x - 2)得y = 4x - 4

法線方程

法線是和切線相垂直的，故法線的斜率k爲-1/4

代入y - 4 = 4(x - 2)，得

紅色爲法線，藍色爲切線。

高階導數

是指二階及二階以上的導數。比如位移函數的一階導數是瞬時速度，二階導數是加速度。一階導數判斷增減性，二階導數判斷凹凸性。

微分中值定理

導數究竟有什麼用呢？它的最典型的用處就是可以求函數的極值和單調性。

費馬引理

設函數f(x)在x0點某鄰域內有定義，且在x0處可導，若對於該鄰域內任意x均有f(x)≥f(x0)(或f(x)≤f(x0))，那麼f'(x0)=0

證明：右極限由於f(x)≥f(x0)，所以分子是大於等於0的，分母是大於0的，所以這裏是大於等於0的

            左極限由於f(x)≥f(x0)，所以分子是大於等於0的，分母是小於0的，所以這裏是小於等於0的

由於在x0處可導，那麼它左右極限必然是相等的，則

羅爾定理

若函數f(x)在[a,b]上連續，(a,b)內可導(閉區間內連續，開區間內可導)，且f(a)=f(b)，那麼在(a,b)內至少存在一點c (a<c<b)，使f'(c)=0

拉格朗日中值定理

如果函數f(x)在閉區間[a,b]連續，開區間(a,b)可導，則在(a,b)內至少有一點c，滿足不等式f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)

這是一個導數與函數值之間的橋樑，在數值分析與證明中大量運用。

這裏的意思就是說我們連接a、b兩點做連線，我們總能找出一個點c做切線，使得這條切線平行於ab這條直線。即是弦AB的斜率，至少能在A、B之間找到一點C，滿足過點C的切線與AB平行。

證明：先畫出輔助線

由圖可以看出

由上面的式子可轉化爲

令

則有F(a) = F(b)

由羅爾定理得，當F(a)=F(b)時，存在一個數，使得。

F'(x)=()'，根據導數，則有F'(x)=f'(x)-,因爲之前已經得出(ax)'=a。

則有，轉化爲

最後可得得證。

拉格朗日中值定理應用示例

已知a>0,證明

證明：令f(x)=ln(1+x)，則f(x)在[0,a]連續，在(0,a)可導，根據拉格朗日中值定理

f(a)-f(0)=f'(c)•(a-0),根據對數求導公式，f'(c)=1/(1+c),則

因爲ln1=0,則有故

因爲0 < c < a，所以

兩邊分開展開計算，最終可得

柯西中值定理

如果函數f(x)及g(x)在閉區間[a,b]連續，開區間(a,b)可導，對任意，滿足g'(X)≠0，那麼在(a,b)內至少存在一點，使如下等式成立

它的主要作用也是構造輔助函數，運用羅爾定理。在後續定理證明中運用(洛必達法則)

函數單調性與極值

由上圖中，我們可以看到切線的斜率大於0(導數大於0)，處於遞增趨勢。

同理，在這幅圖中，切線斜率小於0(導數小於0)，處於遞減趨勢。

切線斜率等於0(導數等於0)，此處處於極小值。

設函數f(x)在閉區間[a,b]連續，開區間(a,b)可導，在[a,b]上取兩點x1、x2，滿足a≤x1≤x2≤b，由拉格朗日中值定理得

若當時，f'(x)>0恆成立，則f(x2)>f(x1)，即時，f(x)單調遞增

若當時，f'(x)<0恆成立，則f(x2)<f(x1)，即時，f(x)單調遞減

如果在(a,b)內，滿足f'(x)=0的點是有限多個，其餘點保持恆爲正或恆爲負，則f(x)在[a,b]上仍然單調。

導數爲0的點稱爲駐點或臨界點。

如果函數f(x)在點x0的領域U(x0)有定義，且對於去心領域U(x0)內的任意x，均滿足f(x)<f(x0) (或f(x)>f(x0))，則稱f(x0)是函數f(x)的一個極大值(或極小值)。

在上圖中，D、F、H、J都是極大值點，C、E、G、I都是極小值點。但在某一個區域內，比如C-I的區間內，最大值點就是H。

極值的意義

爲什麼要研究極值點

優化算法的目標即是獲取目標函數的最值

生活中的優化問題

1. 如何投擲鉛球使落點最遠
2. 如何投資收益最大或風險最小
3. 如何進行垃圾郵件過濾效果最好
4. 如何進行精準推薦或廣告投放
5. 如何設計系統使效率最高
6. 優化算法的目標即是獲取目標函數的最值
7. 最小二乘法——殘差平方和最小

如何取得極值

• 必要條件(若函數可導):一階導數爲0
• 充分條件1：通過單調性判斷
• 充分條件2(若一二階導數存在)：
  • f'(x0)=0且f''(x0)>0，x0處取得極小值
  • f'(x0)=0且f''(x0)<0，x0處取得極大值

極值與單調性示例

討論函數的單調區間與極值點

先求導函數

令f'(x)≥0,求解不等式，首先a>0,=b^2-4ac=4-4*1*(-3)=16,>0說明有兩個解，最後求解x=(-b(+/-)√)/2a=(2(+/-)4)/2

得出x1=3,x2=-1，因爲a是大於0的，f'(x)的曲線開口是向上的，所以f'(x)≥0點最終解爲x≤-1或者x≥3。所以f(x)的單調遞增區間爲(-∞,-1][3,∞)。

令f'(x)<=0，則f(x)的單調遞減區間爲[-1,3]。

x=-1,爲極大值，x=3,爲極小值。f(x)的圖像如下

討論函數f(x)=x+cos x在[-2π,3π]上的單調區間

先求導函數f'(x)=1-sin x

令f'(x)≥0,求解不等式,1-sin x≥0爲恆等式，f(x)是沒有遞減區間的，所以f(x)在[-2π,3π]上單調遞增。

如果要讓f'(x)=0，則sin x=1，在[-2π,3π]可以取值爲

f(x)的圖像如下

由此可以看出極值點處導數一定爲0，但導數爲0不一定就是極值點。

凹凸性與拐點

我們來看這樣兩條函數曲線，雖然它們從A點到B點的區間都是單調遞增的，但是紅色的弧ACB是向上凸的；藍色的弧ADB是向上凹的。

設f(x)在某區間U上連續，若對於U上任意兩點x1、x2，恆有

則稱f(x)在U上的圖形是向上凹的

設f(x)在某區間U上連續，若對於U上任意兩點x1、x2，恆有

則稱f(x)在U上的圖形是向上凸的

凹凸的判定

設f(x)在某區間[a,b]上連續，在(a,b)內一、二階導數存在，

若在(a,b)內恆有f''(x)>0，則在[a,b]上圖形是凹的，

若在(a,b)內恆有f''(x)<0，則在[a,b]上圖形是凸的。

拐點

在某點處左右鄰域二階導數異號的點，若二階導數存在，必要條件f''(x)=0。但二階導數爲0，不代表一定是拐點，它的左右不異號是完全存在的。

• 判定指數函數的凹凸性

，a>0且a≠1

一階導數

二階導數，是恆大於0的，是凹函數

其中紅色曲線是a>1的，藍色曲線是0<a<1的。從圖上可以看到它都是凹的。

• 判定對數函數的凹凸性

，a>0且a≠1

一階導數

二階導數

我們來看一下ln x的圖像

我們可以看到0<a<1的時候，ln a是小於0的，則y''>0，是凹函數

當a>1時，ln a是大於0的，則y''<0，是凸函數。

對數函數的圖像如下

其中紅色曲線是a>1的，藍色曲線是0<a<1的。

• 討論函數的凹凸性

一階導數

二階導數

令y''=6x-6>0，得x>1

當x>1時，函數圖像是凹的，x<1時，函數圖像是凸的，x=1是拐點。

函數圖像如下

凹凸的意義

1. 凹凸性具有良好的特徵，直接用於數學證明或分析
2. 進一步判定曲線形狀和特性
3. 使用二階導數，能進一步逼近曲線
4. 猜想：若使用更高階的導數，能否更加逼近函數。