無窮級數
\(\sum_{i=1}^∞u_i=u_1+u_2+...+u_n+...\)
無窮級數就是無限項數列的加和。相比於無限項，也有有限項的級數，就是無窮級數的前n項
\(S_n=\sum_{i=1}^nu_i\)
無窮級數如果最終結果爲∞，那麼我們就說該無窮級數爲發散的；無窮級數如果最終結果爲一個數A，那麼我們就說該無窮級數爲收斂的。它等價於
\(\lim_{n->∞}Sn=A\)
爲收斂，反之發散。
幾個特殊級數
- 等比級數
\(\sum_{n=1}^∞aq^{n-1}\) (a>0)
當公比的絕對值|q|<1時，該級數爲收斂的，如
\(1+{1\over 2}+{1\over 4}+{1\over 8}+...+{1\over 2^n}+...=2\)
當|q|>1時，該級數爲發散的，如
\(1+2+4+8+...+2^n+...=∞\)
- P級數
\(\sum_{n=1}^∞{1\over n^P}\)
當P≤1時，爲發散的
當P>1時，爲收斂的
當P=1的時候，\(\sum_{n=1}^∞{1\over n}=∞\)
這是兩個非常重要的級數。
正項級數判斂法
正項級數有如下性質：
- 正項級數收斂的充分必要條件是它的部分和是有界數列；
- 正項級數如果收斂收斂值是{\(S_n\)}的上確界；
- 正項級數如果發散一定發散到正無窮;
- 對於收斂的正項級數，任意調換求和順序後得到的新級數也收斂，並且和不變；
- 比較法
1、一般形式：若
\(b_n≥a_n≥0\)
則
- \(\sum_{n=1}^∞a_n\)發散，那麼\(\sum_{n=1}^∞b_n\)也發散
- \(\sum_{n=1}^∞b_n\)收斂，那麼\(\sum_{n=1}^∞a_n\)也收斂
示例1：\(\sum_{n=1}^∞{(\sqrt{2}+(-1)^n)^n\over 3^n}\)
\({(\sqrt{2}+(-1)^n)^n\over 3^n}=({\sqrt{2}+(-1)^n\over 3})^n\)爲一個正項級數
該數列並不是一個等比數列，但是我們發現
\(({\sqrt{2}+(-1)^n\over 3})^n≤({\sqrt{2}+1\over 3})^n\)
由於\(({\sqrt{2}+1\over 3})^n\)是一個等比數列，其公比\({\sqrt{2}+1\over 3}<1\)爲收斂的，故
\(\sum_{n=1}^∞{(\sqrt{2}+(-1)^n)^n\over 3^n}\)爲收斂的。
2、極限形式：
\(\sum_{n=1}^∞a_n\)與\(\sum_{n=1}^∞b_n\)均爲正項級數
\(\lim_{n->∞}{a_n\over b_n}=C>0\)
則二者同斂散
證明：對於\(\lim_{n->∞}{a_n\over b_n}=C\)，我們知道對於任意ε>0，都存在一正整數N，使得n>N時有\(|{a_n\over b_n}-C|<ε\)，等價於
\(-ε<{a_n\over b_n}-C<ε\)
\(C-ε<{a_n\over b_n}<C+ε\)
\((C-ε)b_n<a_n<(C+ε)b_n\)
由於C>0，我們可以讓ε足夠小，使得C-ε>0，因此
\(b_n<{a_n\over C-ε}\)
根據比較法，如果\(\sum_{n=1}^∞a_n\)收斂，則\(\sum_{n=1}^∞b_n\)同樣收斂；
又有
\(a_n<(C+ε)b_n\)
則如果\(\sum_{n=1}^∞b_n\)收斂，\(\sum_{n=1}^∞a_n\)同樣收斂。
示例2：\(\sum_{n=1}^∞{1\over \sqrt{n^3-n+1}}\)
由於\({1\over \sqrt{n^3-n+1}}～{1\over \sqrt{n^3}}={1\over n^{3\over 2}}\)同階無窮小(關於無窮小的內容可以參考高等數學整理 中的函數連續性)
則有\(\lim_{n->∞}{n^{3\over 2}\over \sqrt{n^3-n+1}}=1\)
由於\(\sum_{n=1}^∞{1\over n^{3\over 2}}\)收斂，故原級數\(\sum_{n=1}^∞{1\over \sqrt{n^3-n+1}}\)同樣收斂。
示例3：\(\sum_{n=2}^∞ln(1+{2\over n})\)
因爲\(ln(1+{2\over n})～{2\over n}\)
由於\(\sum_{n=2}^∞{2\over n}\)是發散的，故原級數\(\sum_{n=2}^∞ln(1+{2\over n})\)是發散的。
- 比值/根值法
1、比值判別法
若\(\sum_{n=1}^∞u_n\)滿足
\(\lim_{n->∞}{u_{n+1}\over u_n}=l\)
則
- 0≤l<1，\(\sum_{n=1}^∞u_n\)收斂；
- l>1，\(\sum_{n=1}^∞u_n\)發散；
- l=1，待定
當n->∞的時候，
\({u_{n+1}\over u_n}=l\)
\(u_{n+1}=l⋅u_n\)
這說明它是極限狀況的類等比數列，l爲公比，公比小於1爲收斂，大於1爲發散，等於1則不確定。
示例4：\(\sum_{n=1}^∞{2^n\over n!}\)
\({u_{n+1}\over u_n}={2^{n+1}\over (n+1)!}⋅{n!\over 2^n}={2\over n+1}\)
\(\lim_{n->∞}{2\over n+1}=0<1\)
故原級數\(\sum_{n=1}^∞{2^n\over n!}\)是收斂的。
示例5：\(\sum_{n=1}^∞{2^n+3\over 3^n-2}\)
\({u_{n+1}\over u_n}={2^{n+1}+3\over 3^{n+1}-2}⋅{3^n-2\over 2^n+3}={(2+{3\over 2^n})⋅(1-{2\over 3^n})\over (3-{2\over 3^n})⋅(1+{3\over 2^n})}\)
\(\lim_{n->∞}{(2+{3\over 2^n})⋅(1-{2\over 3^n})\over (3-{2\over 3^n})⋅(1+{3\over 2^n})}={2\over 3}<1\)
故原級數\(\sum_{n=1}^∞{2^n+3\over 3^n-2}\)是收斂的。
2、根值判別法(柯西審斂法)
若\(\sum_{n=1}^∞u_n\)滿足
\(\lim_{n->∞}{\sqrt[n]{u_n}}=l\)
則
- 0≤l<1，\(\sum_{n=1}^∞u_n\)收斂；
- l>1，\(\sum_{n=1}^∞u_n\)發散；
- l=1，待定
當n->∞的時候，
\({\sqrt[n]{u_n}}=l\)
\(u_n=l^n\)
這同樣也是一個類等比數列，l爲公比，公比小於1爲收斂，大於1爲發散，等於1則不確定。
示例6：\(\sum_{n=1}^∞{n\over (a+{1\over n})^n}\) (a>0)
\({\sqrt[n]{u_n}}={\sqrt[n]{n}\over a+{1\over n}}\)
\(\lim_{n->∞}{\sqrt[n]{n}\over a+{1\over n}}={1\over a}\)
- 當\({1\over a}<1\)，原級數\(\sum_{n=1}^∞{n\over (a+{1\over n})^n}\)收斂。
- 當\({1\over a}>1\)，原級數\(\sum_{n=1}^∞{n\over (a+{1\over n})^n}\)發散。
- 當\({1\over a}=1\)，即a=1，\(\lim_{n->∞}{(1+{1\over n})^n}=e\) ，此處可以參考高等數學整理 中的兩個重要的極限，故 原級數\(\sum_{n=1}^∞{n\over (a+{1\over n})^n}\)發散。
這裏補充\(\lim_{n->∞}{\sqrt[n]{n}}\)
\({\sqrt[n]{n}}=n^{1\over n}\)
\(\lim_{n->∞}{1\over n}=0\)
\(\lim_{n->∞}n=∞\)
這裏我們繼續補充冪函數的極限運算法則：
冪函數\(f(x)=x^a\)，a是常數
- 當a>0時，\(\lim_{x->∞}x^a=∞\)
- 當a=0時，\(\lim_{x->∞}x^a=1\)
- 當a<0時，\(\lim_{x->∞}x^a=0\)
由該性質我們可知
\(\lim_{n->∞}{\sqrt[n]{n}}=1\)