一個證明過程實際上是在給定條件的基礎上，反覆運用始終可以使用的basic rules，最後推演出想要的結論的過程。這個過程可以形式化地描述，稱爲Sequent Calculus。由formula集合\(\Phi\)能“證明”出formula \(\varphi\)，記爲\(\Phi \vdash \varphi\)。
在一個證明系統中，“可證性”與“真理性”的關係並不是顯然的。在一階邏輯中我們將看到的，可證性與真理性是等價的，這稱爲哥德爾完備性定理——正確的一定是可證的，可證的一定是正確的。
可證的一定是正確的，這個性質稱爲Soundness。形式化的，只要\(\Phi \vdash \varphi\)成立，就一定有\(\Phi \models \varphi\)成立。前者純粹是證明規則的形式操作，後者是語義層面的推出關係，對於選定的某個解釋如果\(\Phi\)成立了那麼\(\varphi\)也一定成立。這個命題的證明相對來說比較簡單，我們首先對於證明的basic rules證明這一事實成立，而任何一個證明都只是basic rules的反覆運用，因此歸納地這一事實在任何證明中都成立。
接下來要討論的問題是，正確的是否一定是可證的。\(\Phi \models \varphi\)成立能否推出\(\Phi \vdash \varphi\)成立？這稱爲完備性。我們首先證明，這一命題等價於consistency能推出satisfiable。其中，\(\Phi\)的consistency是指\(\Phi\)不能證出兩個矛盾的命題，也即不存在\(\varphi\)使得又有\(\Phi \vdash \varphi\)又有\(\Phi \vdash \neg \varphi\)。satisfiable即存在一個解釋\(\mathfrak{I}\)使得\(\mathfrak{I}\models \Phi\)。而satisfiable的一定是consistent的，因此我們現在其實在證明這二者的等價性。
我們會發現，此時我們不能直接歸納證明，因爲可以構造這樣的\(\mathfrak{I}\)使得所有變量都解釋爲了某個單一的元素，但formula中的存在符號\(\exists\)卻使得在解釋時會用到universe中的其它元素。爲此，我們要規定\(\Phi\)要額外滿足negation complete和contain witness這兩個條件，前者要求對於任意的formula \(\varphi\)，\(\Phi\)必須要能夠證出\(\varphi\)和\(\neg \varphi\)中的恰好一個，後者要求每個公式\(\varphi\)和變元\(x\)都要滿足\(\Phi\)能證出\(\exists x\varphi \to \varphi\dfrac{t}{x}\)（每個成立的formula都要有見證者，也就是說是真的實際的成立而不是形式上的成立）。在這樣的附加條件下，我們就順利的通過構造項的等價類模型得到了一個始終能夠解釋\(\Phi\)的\(\mathfrak{I}^\Phi\)。
現在爲了證明原來的完備性，我們需要逐步刪掉我們在\(\Phi\)上附加的條件。爲此，我們先假設我們討論的符號集是至多可數的。既然符號可數，而一階邏輯中每個公式的長度都必須是有限的，那麼可以列出所有公式。這時我們可以給每個公式強行分配一個witness，承擔witness的變元最好需要是一個全新的變量，所以我們附加上free variable總數有限這一條件。這樣構造的集合包含了\(\Phi\)，並且可以證明是consistent的。再此基礎上再次枚舉所有公式，對於每個公式，如果把它合併進\(\Phi\)裏依然保持consistent就合併，否則跳過，可以證明這樣得到的新集合一定是negation complete。於是我們得到了一個包含\(\Phi\)的更大集合，它同時滿足consistent, negation complete和contain witness。所以它是可滿足的，隨之\(\Phi\)也是可滿足的。接下來我們需要刪掉free variable總數有限這一條件。在這裏我們首先把所有的free variable都用常元代替，這樣free variable爲空，所以可以用剛纔得到的定理得到它是satisfiable的，並且我們能夠證明這樣得到的新的\(\Phi'\)是可滿足的，並且任意一個公式在原來的解釋下滿足當且僅當在新的解釋下滿足。這樣我們最終得到\(\Phi\)是可滿足的。
最後我們需要刪掉符號集可數這一條件。我們還是希望擴張公式集來讓他滿足negation complete和contain witness，但由於符號集不可數我們無法列出所有公式。而現在常數的數量沒有了可數的限制，所以我們可以分配與公式同樣多數量的常數來充當witness，而證明整體的consistency只需要證明所有有限子集的consistency（這稱爲緊性），這時就可以直接運用可數情形的結論。而每一次我們加入常元分配witness都爲產生許多新的帶有這些常元的公式，因此我們要不斷地繼續爲他們發配witness，這個過程將會發生可數次，但consistency依然是始終能夠保證的。接下里需要擴展negation complete，而對negation complete的拓展需要用到Zorn Lemma（證明略），它描述了一個集合意義下的對“取極限”封閉的集合有極大元的性質，我們以公式集的包含關係構造滿足Zorn Lemma條件，並發現如果不滿足negation complete就會與極大元的性質矛盾。這樣我們最終完成了不可數情形的證明。
綜上，我們最終得到\(\Phi \vdash \varphi \iff \Phi \models \varphi\)，這稱爲“哥德爾完備性定理”。