羣的直積

外直積與內直積(External Direct Product & Internal Direct Product)\(\newcommand{\ord}{\text{ord}}\)

假設我們有兩個羣，它們可以是毫不相關的，記爲\(H,K\)。我們可以用笛卡爾積的方式生成二元組的集合\(\bar G=H\times K=\{(h,k)\mid h\in H,k\in K\}\)。在\(\bar G\)上定義二元運算\((h_1,k_1)\circ (h_2,k_2)=(h_1h_2,k_1k_2)\)，可以驗證\((\bar G,\circ)\)構成了羣：封閉性成立；結合律繼承\(H,K\)的結合律；單位元是\((e_H,e_K)\)；\((h,k)^{-1}=(h^{-1},k^{-1})\)。於是，\(\bar G=H\times K\)就稱爲\(H\)和\(K\)的外直積羣。

外直積中元素的order可以直接由原先羣中元素的order給出。由於外直積羣中的運算是元素分別在原先的羣中運算，對於\((h,k)\in \bar G\)，\(h\)將經過\(\ord(h)\)次與自己運算後回到本身，\(k\)經過\(\ord(k)\)次運算回到本身。因此\((h,k)\)第一次回到本身一定是在\(\text{lcm}(\ord(h),\ord(k))\)次運算以後，即\(\ord((h,k))=\text{lcm}(\ord(h),\ord(k))\)。

假如已知\(H,K\)是循環羣，\(H\times K\)什麼時候是循環羣呢？我們有以下充分必要條件：如果\(H,K\)是循環羣，則\(H\times K\)是循環羣當且僅當\(\gcd(|H|,|K|)=1\)。設\(H=\lang a\rang,K=\lang b\rang\)。左推右，設\(H\times K=\lang (c,d)\rang\)，則\(\text{lcm}(\ord(c),\ord(d))=|H|\cdot |K|\)，而\(\ord(c)\leq |H|,\ord(d)\leq|K|\)，因此只能是\(\ord(c)=|H|,\ord(d)=|K|\)且\(\gcd(|H|,|K|)=1\)；右推左，\((a,b)\in H\times K\)，\(\ord((a,b))=\text{lcm}(|H|,|K|)=|H|\cdot|K|=|H\times K|\)，因此\((a,b)\)就是生成元，因此是循環羣。

在外直積羣中，有兩個特殊的子羣\(\bar H=\{(h,e_k)\mid h\in H\}\)和\(\bar{K}=\{(e_H,k)\mid k\in K\}\)。顯然有\(\bar H\cong H,\bar K\cong K\)。進一步，它們是正規子羣，有\(\bar H\unlhd \bar G,\bar K \unlhd \bar G\)：\(\forall (h,k)\in \bar G\)，\((h,k)(h',e_K)(h^{-1},k^{-1})=(hh'h^{-1},e_K)\in \bar H\)。還容易看出，\(\bar H\cap \bar K=\{(e_H,e_K)\}\)。於是，\(\bar G\)可以寫成這兩個集合的乘積\(\bar G=\bar H\bar K\)。我們能否抽象出外直積所具有的這些性質，從而對於任何\(G\)定義滿足這些性質的子羣\(H,K\preceq G\)之間的直積呢？這就是內直積。我們定義羣\(G\)是其子羣\(H,K\)的內直積（記爲\(G=H\otimes K\)），當且僅當：① \(G=HK\)；② \(H,K\unlhd G\)；③ \(H\cap K=\{e\}\)。可見，內直積\(H\otimes K\)是比集合的乘積\(HK\)滿足更豐富性質的一種羣與羣的運算。

內直積有一些十分重要的性質。假設\(G=H\otimes K\)。第一條性質是，\(\forall g\in G\)，若\(\exists h,h'\in H,k,k'\in K\)使得\(g=hk=h'k'\)，則\(h=h',k=k'\)。這說明，將\(G\)中元素表示成\(H\)中元素與\(K\)中元素的乘積的表示方法是唯一的，就好像向量空間中向量在基上的分解是唯一的，\(H,K\)就是滿足這樣唯一分解性質的一組基。證明：因爲\(hk=h'k'\)，因此\(h'^{-1}h=k'k^{-1}\)。而\(h'^{-1}h\in H,k'k^{-1}\in K\)，它們相等，因此\(h'^{-1}h\in H\cap K\)，所以\(h'^{-1}h=e\)，也即\(h'=h\)。同理\(k'=k\)。第二條性質是，\(\forall h\in H,k\in K,hk=kh\)。這說明內直積分解以後，分屬於兩個集合內的元素相乘是可以交換順序的。證明：要證\(hk(kh)^{-1}=hkh^{-1}k^{-1}=e\)，即證\(hkh^{-1}k^{-1}\in H\cap K\)。因爲\(H\unlhd G\)，\(kh^{-1}k^{-1}\in H\)，因此\(h(kh^{-1}k^{-1})\in H\)；因爲\(K\unlhd G\)，\(hkh^{-1}\in K\)，因此\((hkh^{-1})k^{-1}\in K\)。所以\(hkh^{-1}k^{-1}\in H\cap K\)。注意，性質一的證明中並沒有用到正規子羣的條件，它是\(G=HK\)與\(H\cap K=\{e\}\)產生的性質；性質二的證明中沒有用到\(G=HK\)的條件，它是正規子羣與\(H\cap K=\{e\}\)產生的性質。

我們證明，乘積唯一表示與可交換順序（性質一與性質二）可以作爲內直積的等價定義。也就是我們可以證明①②③\(\iff\)①’ ②’：①’ \(\forall g\in G\)都可以被\(h\in H,k\in K\)唯一表示爲\(g=hk\)；②’ \(\forall h\in H,k\in K,hk=kh\)。左推右剛纔我們已經證明了；右推左，\(\forall g\in G\)都可以被表示成\(hk\)，因此\(G\subseteq HK\)，而\(H,K\preceq G\)，因此\(HK\subseteq G\)，所以①成立。要證\(H\unlhd G\)，只需證\(\forall g\in G,h\in H\)都有\(ghg^{-1}\in H\)。而\(g\)可以唯一表示爲\(h_0k_0\)，所以只需證\(ghg^{-1}=h_0k_0hk_0^{-1}h_0^{-1}\)，根據可交換的性質得\(h_0hk_0k_0^{-1}h_0^{-1}=h_0hh_0^{-1}\)，顯然屬於\(H\)；\(K\unlhd G\)同理，因此②成立。對於任意的\(w\in H\cap K\)，因爲\(w=ew,e\in H,w\in K\)，同時\(w=we,w\in H,e\in K\)，根據唯一分解性質\(w=e\)，因此\(H\cap K=\{e\}\)，所以③成立。

對於\(G=H\otimes K\)，如果對\(H,K\)做外直積會得到什麼？下面我們證明，\(G=H\otimes K\cong H\times K\)。爲此，我們構造映射\(f:H\times K\to G\)，\(f((h,k))=hk\)。顯然\(f\)是滿射，根據內直積的唯一分解的性質\(f\)又是單射。\(f((h_1,k_1)(h_2,k_2))=f((h_1h_2,k_1k_2))=h_1h_2k_1k_2\)，根據內直積的交換性質得到\(h_1k_1h_2k_2=f((h_1,k_1))f((h_2,k_2))\)，因此\(f\)保運算。綜上，\(f\)是同構映射。

多元的外直積與內直積

外直積和內直積的定義可以推廣到多元的情形。設\(H_1,\cdots,H_n\)是\(n\)個羣，那麼定義它們的外直積羣爲\(\bar G=(H_1\times H_2\times\cdots \times H_n,\circ)\)，其中運算滿足規則\((h_1,\cdots,h_n)(h_1',\cdots,h_n')=(h_1h_1',\cdots,h_nh_n')\)。同樣的，令\(\bar H_i=\{(e_{H_1},\cdots,e_{H_{i-1}},h_i,e_{H_{i+1}},\cdots,e_{H_n})\mid h_i\in H_i\}\)，則\(\bar H_i\unlhd \bar G\)，\(\bar G=\bar H_1\bar H_2\cdots \bar H_n\)，\(\forall i\neq j,H_i\cap H_j=\{e_G\}\)。內直積的定義相應地可以推廣到多元：\(G=H_1\otimes H_2 \otimes\cdots \otimes H_n\)當且僅當①\(G=H_1\cdots H_n\)；②\(H_i\unlhd G\) ③\(H_i\cap \prod\limits_{j\ne i}H_j=\{e\}\)。同樣的我們可以證明\(G=H_1\otimes H_2 \otimes\cdots \otimes H_n \cong\)\(H_1\times \cdots \times H_n\)。

對於多元的內直積的定義，我們可以證明在①和②成立的前提下，③也與如下的④和⑤等價：④ \(H_i\cap \prod\limits_{j<i}H_j=\{e\}\)；⑤ \(\forall g\in G\)都可以唯一表示爲\(g=h_1h_2\cdots h_n\)，其中\(h_i\in H_i\)。③\(\implies\)④：顯然\(\prod\limits_{j<i}H_j\subseteq \prod\limits_{j\neq i}H_j\)，因此\(H_i\cap \prod\limits_{j<i}H_j\subseteq \{e\}\)，而顯然\(e\)在其中；④\(\implies\)⑤：那麼如果\(g=h_1\cdots h_n=h_1'\cdots h_n'\)，那麼\((h_1'\cdots h_{n-1}')^{-1}h_1\cdots h_{n-1}=h_n'h_n^{-1}\)，左側是\(\prod\limits_{j<n}H_i\)中的元素，右側是\(H_n\)中的元素，因此\((h_1'\cdots h_{n-1}')^{-1}h_1\cdots h_{n-1}=h_n'h_n^{-1}=e\)，於是我們得到\(h_n=h_n',h_1\cdots h_{n-1}=h_1'\cdots h_{n-1}'\)。不斷迭代，最終得到\(h_i=h_i'\)。⑤\(\implies\)③：\(\forall w\in H_i\cap \prod\limits_{j\ne i}H_j\)，\(w=e\cdots e\cdot w\cdot e\cdots e\)，\(w\in H_i\)。而因爲\(w\in \prod\limits_{j\ne i}H_j\)，因此存在\(h_j,j\neq i\)滿足\(w=h_1\cdots h_{i-1}\cdot e\cdot h_{i+1}\cdots h_n\)。這樣我們就得到了\(w\)的兩種表示法，根據表示的唯一性一定有\(w=e\)，因此\(H_i\cap \prod\limits_{j\ne i}H_j=\{e\}\)。

對於任意\(j<i\)，因爲\(H_j\subseteq \prod\limits_{j<i}H_j\)，我們用同樣的論證可以立即得到\(H_i\cap H_j=\{e\}\)，同時\(H_i,H_j\unlhd G\)，我們用與二元時完全相同的論證可以得到\(\forall h_i\in H_i,h_j\in H_j,h_ih_j=h_jh_i\)。

有限交換羣的直積分解

對於有限交換羣\(G\)，設\(|G|=p_1^{m_1}\cdots p_t^{m_t}\)，我們證明我們總能做以下的內直積分解：\(G=H_1\otimes \cdots \otimes H_t\)，其中\(H_i\)是\(G\)的Sylow \(p_i\)-子羣。並且由於在交換羣中，羣的共軛是其本身，所有Sylow子羣都是唯一的，也就說明以上的內直積分解方式是唯一的。

在交換羣中，任何兩個子羣的乘積依然是子羣，因此\(G'=H_1\cdots H_t\preceq G\)。下面我們先證明\(G'=H_1\otimes \cdots \otimes H_t\)。首先，\(G'\)是交換羣。在交換羣裏，內直積的等價定義中的⑤可以弱化爲⑤’：單位元\(e\)可以被唯一表示。因爲假如\(e\)能被唯一表示，那麼\(\forall g=h_1\cdots h_n=h_1'\cdots h_n'\)，由交換羣可得\((h_1h_1'^{-1})(h_2h_2'^{-1})\cdots (h_nh_n'^{-1})=e\)，而\(e=e\cdots e\cdots e\)是唯一的表示，因此\(h_i=h_i'\)。證畢。那麼，我們要證在\(G'\)中，單位元能唯一分解。假設\(e=h_1\cdots h_t,h_i\in H_i\)，那麼\(\ord(h_i)\mid p_i^{m_i}\)，可以設\(\ord(h_i)=p_i^{k_i}\)，\(k_i\leq m_i\)。那麼\(h_i\)的階兩兩互素。我們下面歸納證明，在交換羣中，階兩兩互素的一列元素相乘等於單位元，則這些元素必定都等於單位元本身：\(\forall m,e=g_1\cdots g_m\)，且\(\forall i,j,\gcd(\ord(g_i),\ord(g_j))=1\)，則\(g_i=e\)。\(m=1\)時顯然成立；假設\(m-1\)時已經成立，設\(\ord(g_m)=t_m\)，則\(e^{t_m}=(g_1\cdots g_m)^{t_m}\)，因爲是交換羣，這就等於\(g_1^{t_m}\cdots g_{m-1}^{t_m}\)，其中\(g_m^{t_m}=e\)。根據歸納假設，\(g_i^{t_m}=e,i<m\)。而\(\ord(e)=\ord(g_i^{t_m})=\dfrac{\ord(g_i)}{\gcd(\ord(g_i),t_m)}=\ord(g_i)\)，因此\(g_i=e\)。證畢。而在交換羣中，所有子羣都是正規子羣。綜上，\(G'=H_1\otimes \cdots \otimes H_t\)成立。而\(G'\cong H_1\times \cdots \times H_t\)，因此\(|G'|=|H_1|\cdots |H_t|=p_1^{m_1}\cdots p_t^{m_t}=|G|\)，因此\(G'=G\)。證畢。

\(p\)-羣的分解

循環\(p\)-羣不可分

所以對於有限交換羣，我們一定可以把它寫成Sylow \(p\)-羣的內直積。那麼我們自然追問，Sylow \(p\)-羣能否被進一步內直積分解呢？分解的終點（最小單位）是什麼呢？也就是說我們要討論什麼樣的羣是不能被直積分解的。下面我們證明（並不要求交換羣）大小爲素數\(p\)的冪次的循環羣（循環\(p\)-羣）是不能被直積分解的。循環羣就是這樣一個分解的最小單位。

如果循環\(p\)-羣\(G=\lang g_0\rang\)能被內直積分解爲\(\lang g_1\rang \otimes \lang g_2\rang\)，設\(|G|=p^m,\ord(g_1)=p^{m_1},\ord(g_2)=p^{m_2},m_1\leq m_2<m=m_1+m_2\)。於是\(\forall g\in G\)，\(g\)能被唯一表示爲\(g_1^{t_1}g_2^{t_2}\)，那麼\(g^{p^{m_2}}=(g_1^{t_1}g_2^{t_2})^{p^{m_2}}=g_1^{t_1p^{m_2}}\)，而\(p^{m_1}\mid t_1p^{m_2}\)，因此\(g_1^{t_1p^{m_2}}=e\)，因此\(g^{p^{m_2}}=e\)。而\(p^{m_2}<p^m\)，與\(|G|=p^m\)矛盾。因此循環\(p\)-羣不能被直積分解。

分解爲循環\(p\)-羣

下面我們證明，有限交換羣中的\(p\)-羣一定能分解成若干循環羣的內直積。設交換羣\(|G|=p^m\)，則一定成立\(G=\lang g_1\rang \otimes \cdots\otimes \lang g_k\rang\)，且這種分解在同構意義下是唯一的。

任何一個羣都有一個生成元集（循環羣的生成元集大小爲1）。對於有限交換\(p\)-羣，我們取出生成元集中元素個數最少且其中每個元素的階之和最小的那個生成元集，記爲\(\{g_1,\cdots,g_k\}\)，其中設\(\ord(g_i)=p^{r_i}\)。我們claim \(G=\lang g_1\rang \otimes \cdots\otimes \lang g_k\rang\)。反證法，如果\(G\neq \lang g_1\rang \otimes \cdots\otimes \lang g_k\rang\)，，，，，，