跟着ChatGPT學算法-完全揹包問題

一、題目

給定 n 個物品，第 i 個物品的重量爲 wgt[i-1]、價值爲 val[i-1] ，和一個容量爲 cap 的揹包。每個物品可以重複選取，問在限定揹包容量下能放入物品的最大價值。

 

二、和ChatGPT聊聊

您

您是一位資深算法工程師，請深入淺出地給出完全揹包問題的分析過程和完整帶註釋的Java代碼實現

 

GPT-4-Turbo

 完全揹包問題是動態規劃中的一個經典問題，與0-1揹包問題相似，但在完全揹包問題中，每種物品可以被無限次選取。這個問題的目標是在不超過揹包容量的前提下，最大化揹包中物品的總價值

 

分析過程

1. 定義狀態：定義 dp[i][c] 爲考慮前 i 個物品，當揹包容量爲 c 時能達到的最大價值。

2. 狀態轉移方程：dp[i][c] = max(dp[i-1][c], dp[i][c-wgt[i-1]] + val[i-1])

   • 如果不選當前物品 i，則 dp[i][c] = dp[i-1][c]，直接繼承前一個狀態的值。
   • 如果選當前物品 i，則 dp[i][c] = dp[i][c-wgt[i]] + val[i]，表示在當前揹包容量減去物品 i 的重量後的最大價值基礎上加上物品 i 的價值。由於物品可以被無限次選取，我們仍然在考慮物品 i。

3. 初始化：dp[0][...] = 0，表示當沒有物品可選時，任何容量的揹包的最大價值都是0。

4. 目標：dp[n][cap]，表示考慮所有 n 個物品，當揹包容量爲 cap 時能達到的最大價值。

 

您

那爲什麼轉移方程不是 dp[i][c] = max(dp[i-1][c], max(dp[i-1][c-wgt[i-1]] + val[i-1],dp[i][c-wgt[i-1]] + val[i-1]))

 

GPT-4-Turbo

您提出的狀態轉移方程： [dp[i][c] = max(dp[i-1][c], max(dp[i-1][c-wgt[i-1]] + val[i-1], dp[i][c-wgt[i-1]] + val[i-1]))]

實際上包含了冗餘的比較。這是因爲，當我們在解決完全揹包問題時，對於每個物品，我們有兩個選擇：不選這個物品，或者選這個物品。如果選擇不選這個物品，我們就直接繼承了前一個狀態的值，即 dp[i-1][c]。如果選擇選這個物品，我們需要考慮的是在當前物品可以被無限選取的情況下，選擇這個物品後的最優解，即 dp[i][c-wgt[i-1]] + val[i-1]。

在這裏，dp[i][c-wgt[i-1]] + val[i-1] 已經隱含了 dp[i-1][c-wgt[i-1]] + val[i-1] 的情況。這是因爲 dp[i][c-wgt[i-1]] 已經考慮了所有包括第 i 個物品在內的選擇，這自然包括了從不選擇第 i 個物品到選擇多次第 i 個物品的所有情況。因此，dp[i][c-wgt[i-1]] + val[i-1] 實際上已經覆蓋了 dp[i-1][c-wgt[i-1]] + val[i-1] 的情況，使得後者成爲前者的一個子情況。

因此，原始的狀態轉移方程： [dp[i][c] = \max(dp[i-1][c], dp[i][c-wgt[i-1]] + val[i-1])]

已經足夠覆蓋所有情況，無需再進行冗餘的比較。這個方程簡潔地表達了完全揹包問題的核心思想：對於每個物品，我們可以選擇不選它，或者在選它的情況下，考慮包括它自身在內的所有可能性。

 

三、GPT-4-Turbod的java實現

 1 public class CompleteKnapsack {
 2 
 3     /**
 4      * 解決完全揹包問題的函數
 5      * @param wgt 物品重量數組
 6      * @param val 物品價值數組
 7      * @param cap 揹包容量
 8      * @return 揹包能裝入物品的最大價值
 9      */
10     public static int completeKnapsack(int[] wgt, int[] val, int cap) {
11         int n = wgt.length; // 物品的數量
12         int[][] dp = new int[n + 1][cap + 1]; // dp數組，多出的一行一列是爲了方便處理邊界情況
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14         // 初始化dp數組，Java默認初始化爲0，所以這裏可以省略
15 
16         // 遍歷所有物品
17         for (int i = 1; i <= n; i++) {
18             // 遍歷所有可能的揹包容量
19             for (int c = 0; c <= cap; c++) {
20                 // 不選當前物品i
21                 dp[i][c] = dp[i - 1][c];
22                 // 選當前物品i，前提是揹包容量足夠
23                 if (c >= wgt[i - 1]) {
24                     dp[i][c] = Math.max(dp[i][c], dp[i][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
25                 }
26             }
27         }
28 
29         // 返回考慮所有物品，揹包容量爲cap時的最大價值
30         return dp[n][cap];
31     }
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33     public static void main(String[] args) {
34         int[] wgt = {1, 3, 4}; // 物品重量
35         int[] val = {15, 20, 30}; // 物品價值
36         int cap = 4; // 揹包容量
37 
38         System.out.println("最大價值: " + completeKnapsack(wgt, val, cap));
39     }
40 }