擴展歐幾里得算法

擴展歐幾里得算法是啥，那就要先知道什麼是歐幾里得算法
歐幾里得算法
擴展歐幾里得算法是歐幾里得算法的推廣，利用歐幾里得算法的思想和遞歸求得貝祖等式a*x+b*y=gcd(a,b)不定方程中的一組x和y的解。
原理如下：
設a>b

當b=0時，很顯然a*x=gcd(a,b)=a，所以x=1，而y爲任意數，爲了同一和方便我們令y=0；
當a>b>0時，設有兩組等式a*x1+b*y1=gcd(a,b)，b*x2+(a%b)*y2=gcd(b,a%b)。根據歐幾里得算法的遞歸思想，a和b的gcd爲t，而a=q*b+r，r=a-q*b爲a，b的線性組合，又因爲a%t=0，b%t=0，所以線性組合r%t=0，又有r=a%b，所以gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
聯立等式有a*x1+b*y1=b*x2+(a%b)*y2，又有a%b=a-floor(a/b)*b[這裏面floor()是向下取整的意思]，


即：ax1+by1=bx2+[a-floor(a/b)*b]*y2，我們將a，b視爲未知數所以由x1*a+y1*b=y2*a+[x2-floor(a/b)*y2]*b可得

x1=y2

y1=[x2-floor(a/b)*y2]

這樣我們就找到了擴展歐幾里得的遞歸算法了

總結一下

歐幾里得算法的遞歸求最大公約數是通過遞歸知道m=q*t+0，在下一次遞歸時餘數r=0，遞歸結束，在擴展歐幾里得算

法中同樣是遞歸當b=0時遞歸結束，又有原理中情況1，b=0，則x=1，y=0；

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void Ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y)  
{  
    if(b == 0)//遞歸出口  
    {  
        x = 1;  
        y = 0;  
        return;  
    }  
    int x1, y1;  
    Ex_gcd(b, a%b, x1, y1);  
    x = y1;  
    y = x1-(a/b)*y1;  
}  
上述是求得一組x0，y0解利用這個組求通解怎麼求呢？
有a(x0+n*b)+b*(y0-n*a)=gcd(a,b)

所以x=x0+n*b時n(…，-2，-1，0，1，2，…)，x就是方程的解繫了，對應每一個x都應該有一個y與其相對，實際求解

時先不考慮y，當x求出時，將x帶回方程求得y即可

當這裏的x就包含了所有的解嘛？

顯然不是得，我們將原方程兩邊同除於gcd(a,b),設a1=a/gcd(a,b),b1=b/gcd(a,b)

a1x+b1y=1，與原方程爲同解，此時

x=x0+n*b1

又知b1=b/gcd(a,b)<=b，所以這裏的x比原x包含更多的解

求最小正數解

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while(x<0)  
x+=b1;  
求解一般線性方程 

對於一般的線性方程ax+by=m，我們怎麼來求解呢
首先要判斷這個方程是否有解，若m%gcd(a,b)==0則方程是有解的，證明如下：已知a%gcd(a,b)=0，b%gcd(a,b)=0，則a，b的線性組合(a*x+b*y)%gcd(a,b)=0，即m%gcd(a,b)=0，證畢
求解方法：
設a1=a/gcd(a,b)，b1=b/gcd(a,b)，m1=m/gcd(a,b)
①a1*x+b1*y=m1與原方程通解，那麼當先求得②a1*x+b1*y=1(a1，b1互質，gcd(a1,b1)=1)的一組解x0，y0，則x=x0*m1，y=y0*m1，即x0=x/m1，y0=y/m1代入②式中化簡即爲①式，故求解一般的線性方程ax+by=m時，先用擴展歐幾里得算法求得x0即可，x=x0*m1

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d=gcd(a,b);  
            a=a/d;  
            b=b/d;  
            c=c/d;  
            Ex_gcd(a,b,x,y);  
            x=x*c;  
擴展歐幾里得的應用——求解逆元 

當遇到a/b%m時如何求解呢，對於除法沒有取模運算
逆元的概念就是(a*_a)%m=1，中_a就是a的乘法逆元，它等價除法，即a/b%m=a*_b%m
(a*_a)%m=1等價於表達式a*x+m*y=1，之後利用擴展歐幾里得算法求解的x0
最小正整數逆元就爲x=(x0%m+m)%m[根據同解系可知]
那麼當m爲負數怎麼辦呢
用算法使m=-m即可，一句話m=abs(m)，a，b，同理
附上hdu一道求逆元的題
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1576

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#include <iostream>  
#include <stdio.h>  
#include <stdlib.h>  
#include <string.h>  
#include <math.h>  
using namespace std;  
void Ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)  
{  
    if(b==0)  
    {  
        x=1;  
        y=0;  
        return;  
    }  
    int x1,y1;  
        Ex_gcd(b,a%b,x1,y1);  
    x=y1;  
    y=x1-a/b*y1;  
}  
int main()  
{  
    int t;  
    scanf("%d",&t);  
    while(t--)  
    {  
        int a,b;  
        scanf("%d%d",&a,&b);  
        int x,y;  
        Ex_gcd(b,9973,x,y);  
        x=(x+9973)%9973;  
        printf("%d\n",(a%9973*x%9973)%9973);  
    }  
    return 0;  
}