高消一直是ACM中高層次經常用到的算法，雖然線性代數已經學過，但高消求解的問題模型及高消模板的應用變化是高消的最複雜之處。
先介紹一下高消的基本原理：引入互聯網czyuan的帖子：
高斯消元法，是線性代數中的一個算法，可用來求解線性方程組，並可以求出矩陣的秩，以及求出可逆方陣的逆矩陣。
高斯消元法的原理是：
若用初等行變換將增廣矩陣 化爲 ，則AX = B與CX = D是同解方程組。
所以我們可以用初等行變換把增廣矩陣轉換爲行階梯陣，然後回代求出方程的解。
以上是線性代數課的回顧，下面來說說高斯消元法在編程中的應用。
首先，先介紹程序中高斯消元法的步驟：
(我們設方程組中方程的個數爲equ，變元的個數爲var，注意：一般情況下是n個方程，n個變元，但是有些題目就故意讓方程數與變元數不同)
1. 把方程組轉換成增廣矩陣。
2. 利用初等行變換來把增廣矩陣轉換成行階梯陣。
枚舉k從0到equ – 1，當前處理的列爲col(初始爲0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素絕對值最大的列與第k行交換。如果col列中的元素全爲0，那麼則處理col + 1列，k不變。
3. 轉換爲行階梯陣，判斷解的情況。
① 無解
當方程中出現(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0時，說明是無解的。
② 唯一解
條件是k = equ，即行階梯陣形成了嚴格的上三角陣。利用回代逐一求出解集。
③ 無窮解。
條件是k < equ，即不能形成嚴格的上三角形，自由變元的個數即爲equ – k，但有些題目要求判斷哪些變元是不缺定的。
這裏單獨介紹下這種解法：
首先，自由變元有var - k個，即不確定的變元至少有var - k個。我們先把所有的變元視爲不確定的。在每個方程中判斷不確定變元的個數，如果大於1個，則該方程無法求解。如果只有1個變元，那麼該變元即可求出，即爲確定變元。
以上介紹的是求解整數線性方程組的求法，複雜度是O(n3)。浮點數線性方程組的求法類似，但是要在判斷是否爲0時，加入EPS，以消除精度問題。
以上czyuan帖子的基本原理就介紹完了。
--------------------------我對上面的步驟做一下說明-------------------------------------------
高斯消元求解的詳細步驟：
1） 不用說了，對增廣矩陣先消元，化爲行階梯矩陣。
很多人認爲這就行了，但有時存在如下情況：
1 2 3 4 3
0 1 2 3 3
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
消元后的矩陣化爲行階梯，上面主對角線元素的主元並沒有連續，還應將第4列和第3列交換纔行。
這是網絡上很多的模板所沒有的，也是造成關鍵時候出錯的根源所在。
所以模板還要增加對列進行檢查的代碼。
2） 消元完成後，判斷是否有解，分三種，無解，有1個解和有無窮多解。
3） 對於有唯一解和有無窮多解的時候，都要回帶。
啥是迴帶？ 詳細說明之。
1 2 3 4 3 1 2 4 3 3
0 1 2 3 3 0 1 3 2 3
0 0 0 1 2--------》 0 0 1 0 2 ------》消元后的矩陣------發現有無窮解
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
（行階梯） （交換列）
因爲4個變量，才3行，4-3=1> 0 ,有無窮多解啊。
如果第4行不都是0，迴帶可以求出這個唯一解。如下：
X1 x2 x3 x4 b1
0 x2 x3 x4 b2
0 0 x3 x4 b3
0 0 0 x4 b4
最後1行，有x4=b4;
第3行： x4+x3=b3,已經求出x4=b4了，帶入第3行，可求出x3;同理，把x4 x3 帶入第2行，還可求出x2;把x4 x3 x2 帶入到第1行，可求出x1;
這就是迴帶。
迴帶總結：從最後1行，逐一往回帶，從最後1行代回到第1行。
最關鍵的時候到了：當無窮多解時，最後幾行都是0；沒法迴帶；而某些題目在無窮多解時還要你求最小或最優解，沒辦法，就得枚舉最後行爲0的那幾個解；
如：
1 2 4 3 3
0 1 3 2 3
0 0 1 0 2
0 0 0 0 0
可見最後的x4沒法解，如果題中給定x4的範圍，那就枚舉x4，然後迴帶；枚舉1次x4就回帶1次得到一組（x1 x2 x3 x4 ）;然後根據題意找最優的，具體題目具體分析。