樹狀數組

樹狀數組

樹狀數組(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一個查詢和修改複雜度都爲log(n)的數據結構。主要用於查詢任意兩位之間的所有元素之和，但是每次只能修改一個元素的值；經過簡單修改可以在log(n)的複雜度下進行範圍修改，但是這時只能查詢其中一個元素的值(如果加入多個輔助數組則可以實現區間修改與區間查詢)。

這種數據結構（算法）並沒有C++和Java的庫支持，需要自己手動實現。在Competitive Programming的競賽中被廣泛的使用。樹狀數組和線段樹很像，但能用樹狀數組解決的問題，基本上都能用線段樹解決，而線段樹能解決的樹狀數組不一定能解決。相比較而言，樹狀數組效率要高很多。

基本概念

編輯

假設數組a[1..n]，那麼查詢a[1]+...+a[n]的時間是log級別的，而且是一個在線的數據結構，支持隨時修改某個元素的值，複雜度也爲log級別。

來觀察這個圖：

令這棵樹的結點編號爲C1，C2...Cn。令每個結點的值爲這棵樹的值的總和，那麼容易發現：

C1 = A1

C2 = A1 + A2

C3 = A3

C4 = A1 + A2 + A3 + A4

C5 = A5

C6 = A5 + A6

C7 = A7

C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

...

C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

這裏有一個有趣的性質：

設節點編號爲x，那麼這個節點管轄的區間爲2^k（其中k爲x二進制末尾0的個數）個元素。因爲這個區間最後一個元素必然爲Ax，

所以很明顯：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An

算這個2^k有一個快捷的辦法，定義一個函數如下即可：

1 2 3

int lowbit(int x){ return x&(x^(x–1)); }

利用機器補碼特性，也可以寫成：

1 2 3

int lowbit(int x){ return x&-x; }

當想要查詢一個SUM(n)(求a[n]的和），可以依據如下算法即可：

step1:　令sum = 0，轉第二步；

step2:　假如n <= 0，算法結束，返回sum值，否則sum = sum + Cn，轉第三步；

step3: 令n = n – lowbit(n)，轉第二步。

可以看出，這個算法就是將這一個個區間的和全部加起來，爲什麼是效率是log(n)的呢？以下給出證明：

n = n – lowbit(n)這一步實際上等價於將n的二進制的最後一個1減去。而n的二進制裏最多有log(n)個1，所以查詢效率是log(n)的。

那麼修改呢，修改一個節點，必須修改其所有祖先，最壞情況下爲修改第一個元素，最多有log(n)的祖先。

所以修改算法如下（給某個結點i加上x）：

step1: 當i > n時，算法結束，否則轉第二步；

step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)轉第一步。

i = i +lowbit(i)這個過程實際上也只是一個把末尾1補爲0的過程。

對於數組求和來說樹狀數組簡直太快了!

注：

求lowbit(x)的建議公式：

lowbit(x):=x and -x;

或lowbit(x):=x and (x xor (x - 1));

lowbit(x)即爲2^k的值。