問題描述：
在微軟亞洲研究院上班，大家早上來的第一件事是幹啥呢？查看郵件？ No， 是去水房拿飲料：酸奶，豆漿，綠茶、王老吉、咖啡、可口可樂……（當然，還是有很多同事把拿飲料當做第二件事）。管理水房的阿姨們每天都會準備很多的飲料給大家，爲了提高服務質量，她們會統計大家對每種飲料的滿意度。一段時間後，阿姨們已經有了大批的數據。某天早上，當實習生小飛第一個衝進水房並一次拿了五瓶酸奶、四瓶王老吉、三瓶鮮橙多時，阿姨們逮住了他，要他幫忙。
從阿姨們統計的數據中，小飛可以知道大家對每一種飲料的滿意度。阿姨們還告訴小飛， STC（ Smart Tea Corp.） 負責給研究院供應飲料，每天總量爲 V。 STC 很神奇，他們提供的每種飲料之單個容量都是 2 的方冪，比如王老吉，都是 23 ＝ 8 升的，可樂都是 25 ＝ 32 升的。當然 STC 的存貨也是有限的，這會是每種飲料購買量的上限。統計數據中用飲料名字、容量、數量、滿意度描述每一種飲料。那麼，小飛如何完成這個任務，求出保證最大滿意度的購買量呢？
問題分析：
現有的條件包括
1. 總量V
2. 每種飲料的單個容量
3. 每種飲料的存貨
這個問題適合使用動態規劃來尋找最優解。首先方便討論我們按照書中的命名設好一些變量：
“假設STC共提供n種飲料，用（Si、Vi、Ci、Hi、Bi）（對應的是飲料名字、容量、可能的最大數量、滿意度、實際購買量）來表示第i種飲料（i = 0, 1,…, n-1），其中可能的最大數量指如果僅買某種飲料的最大可能數量，比如對於第i中飲料Ci=V/Vi。”
動態規劃的步驟包括：1.分析最優解結構特點；2.遞歸定義最優解；3.自底向上計算子問題直至得到最優解的代價；4.找到最優解。那麼我們接下來就按照這個步驟順序依次來進行分析。
首先是最優解結構。最優解設爲是B1,B2,B3...Bn，那麼B1到Bn-1是這樣的一個子問題的最優解：總量V-Bn*Vn，在前n-1種飲料中選出滿意度最大的方案。這個很好證明，因爲假如這不是子問題的優化解，那麼原問題就可以得到一個更好的解，矛盾。接下來需要分析的就是這個子問題的解和它的父問題（可以這麼叫嗎）的最優解之間的關係，列出遞推方程。假如當前購買的飲料後剩餘的量爲k，那麼需要比較k和Vn之間的關係。假如不能整除，那麼顯然這樣的方案是不成立的，需要捨棄，可以給這個方案的滿意度設爲無窮小，假如可以整除，那麼就需要開始進行判斷。
具體而言，我們可以設一個代價函數c[i,j]表示當前狀態的滿意度，其中i表示從前i種飲料中選擇，j表示當前剩餘的飲料量。當i=n，j=v的時候，我們就得到了原問題的最優滿意度。如何從c[i,j]的下一級子問題得到它的值呢，這個需要進行比較，設第i種飲料的購買量爲m，然後考察對於每一種m的可能情況下得到的值，選出最大的填入c[i,j]。當填完整個表後就得到了整體的最優解。