問題
給定平面上n個點，找其中的一對點，使得在n個點的所有點對中，該點對的距離最小。嚴格地說，最接近點對可能多於1對。爲了簡單起見，這裏只限於找其中的一對。
原理（這段爲抄襲https://blog.csdn.net/liufeng_king/article/details/8484284）
設S中的點爲平面上的點，它們都有2個座標值x和y。爲了將平面上點集S線性分割爲大小大致相等的2個子集S1和S2，我們選取一垂直線l:x=m來作爲分割直線。其中m爲S中各點x座標的中位數。由此將S分割爲S1={p∈S|px≤m}和S2={p∈S|px>m}。從而使S1和S2分別位於直線l的左側和右側，且S=S1∪S2 。由於m是S中各點x座標值的中位數，因此S1和S2中的點數大致相等。遞歸地在S1和S2上解最接近點對問題，我們分別得到S1和S2中的最小距離d1和d2。現設d=min(d1,d2)。若S的最接近點對(p,q)之間的距離d(p,q)<d則p和q必分屬於S1和S2。不妨設p∈S1，q∈S2。那麼p和q距直線l的距離均小於d。因此，我們若用P1和P2分別表示直線l的左邊和右邊的寬爲d的2個垂直長條，則p∈S1，q∈S2，如圖所示:
距直線l的距離小於d的所有點
在一維的情形，距分割點距離爲d的2個區間(m-d,m](m,m+d]中最多各有S中一個點。因而這2點成爲唯一的末檢查過的最接近點對候選者。二維的情形則要複雜些，此時，P1中所有點與P2中所有點構成的點對均爲最接近點對的候選者。在最壞情況下有n2/4對這樣的候選者。但是P1和P2中的點具有以下的稀疏性質，它使我們不必檢查所有這n^2/4對候選者。考慮P1中任意一點p,它若與P2中的點q構成最接近點對的候選者，則必有d(p,q)<d。滿足這個條件的P2中的點有多少個呢？容易看出這樣的點一定落在一個d×2d的矩形R中，如下圖所示:
包含點q的dX2d矩形R
由d的意義可知P2中任何2個S中的點的距離都不小於d。由此可以推出矩形R中最多隻有6個S中的點。事實上，我們可以將矩形R的長爲2d的邊3等分，將它的長爲d的邊2等分，由此導出6個（d/2）×（2d/3）的矩形。如左圖所示:
矩陣R中點的稀疏性
若矩形R中有多於6個S中的點，則由鴿舍原理易知至少有一個δ×2δ的小矩形中有2個以上S中的點。設u,v是這樣2個點，它們位於同一小矩形中，則：
因此d(u,v)≤5d/6<d 。這與d的意義相矛盾。也就是說矩形R中最多隻有6個S中的點。圖4(b)是矩形R中含有S中的6個點的極端情形。由於這種稀疏性質，對於P1中任一點p，P2中最多隻有6個點與它構成最接近點對的候選者。因此，在分治法的合併步驟中，我們最多只需要檢查6×n/2=3n對候選者，而不是n^2/4對候選者。這是否就意味着我們可以在O(n)時間內完成分治法的合併步驟呢？現在還不能作出這個結論，因爲我們只知道對於P1中每個S1中的點p最多只需要檢查P2中的6個點，但是我們並不確切地知道要檢查哪6個點。爲了解決這個問題，我們可以將p和P2中所有S2的點投影到垂直線l上。由於能與p點一起構成最接近點對候選者的S2中點一定在矩形R中，所以它們在直線l上的投影點距p在l上投影點的距離小於d。由上面的分析可知，這種投影點最多隻有6個。因此，若將P1和P2中所有S的點按其y座標排好序，則對P1中所有點p，對排好序的點列作一次掃描，就可以找出所有最接近點對的候選者，對P1中每一點最多隻要檢查P2中排好序的相繼6個點。（抄襲結束）
僞代碼
輸入：按x座標排列的n(n>=2)個點的集合S={(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}
輸出：最近點的距離
1.如果n==2，則返回（x1,y1）和（x2,y2）之間的距離，算法結束；
2.如果n==3，則返回（x1,y1）、（x2,y2）和（x3,y3）之間的最小距離，算法結束；（此步必要在於，若n==3劃分之後必然有一半爲n==1，導致無法正確執行遞歸）
3.劃分：m==S中各點x座標的中位數；
4.d1 = 計算{(x1,y1),...,(xm,ym)}的最近對距離；
5.d2 = 計算{(xm,ym),...,(xn,yn)}的最近對距離；
6.d = min(d1,d2);
7.依次考察集合S中的點p（x，y），如果（x<=xm 並且x>=xm-d），則將點p放入集合P1中；如果（x>xm 並且x<=xm+d），則將點p放入集合P2中;
8.將集合P1和P2按y座標升序排列；
9.對集合P1和P2中的每個點p（x，y），在y座標區間[y,y+d]內最對取出6個候選點，計算與點p的最近距離d3；
10.返回min{d，d3}；
注：對於第7，8步，由於任何排序算法需要O（nlgn）的複雜度，但這裏需要O（n）的複雜度纔可使整個算法的複雜度爲O（nlgn），因此採用將歸併算法融入求解過程中。對第9步，實際情況是如下圖所示
c++實現
/*
程序： 最近對的距離
作者：Moyu
*/
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<fstream>
#include<sstream>
using namespace std;
struct Point{
double x;
double y;
};
inline bool Compx(const Point &p1, const Point &p2)
{
return p1.x < p2.x;
}
inline bool Compy(const Point &p1, const Point &p2)
{
return p1.y < p2.y;
}
inline double Distance(const Point &a, const Point &b)
{
return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
void Merge(vector<Point> &v, int lo, int m, int hi)
{
vector<Point> vl(v.begin()+lo,v.begin()+m);
int i = lo;
int j = 0;
int k = m;
while(i < hi){
if(j < vl.size() && (k == hi || vl[j].y <= v[k].y))
v[i++] = vl[j++];
if(k < hi && (j == vl.size() || vl[j].y > v[k].y))
v[i++] = v[k++];
}
}
/*
函數：點集最近對的距離
參數：vx：以x排序的點集
*/
double Closest(vector<Point> &vx, int lo, int hi)
{
if(hi - lo == 2){
if(vx[lo].y > vx[hi-1].y){
swap(vx[lo],vx[hi-1]);
}
return Distance(vx[lo],vx[hi-1]);
}
if(hi - lo == 3){
sort(vx.begin()+lo,vx.begin()+hi,Compy);
double d1 = Distance(vx[lo],vx[lo+1]);
double d2 = Distance(vx[lo],vx[hi-1]);
double d3 = Distance(vx[lo+1],vx[hi-1]);
return min({d1,d2,d3});
}
int m = (lo + hi) / 2;
double mx = vx[m].x;
double dl = Closest(vx,lo,m);
double dr = Closest(vx,m,hi);
double d = min(dl,dr);
Merge(vx,lo,m,hi);
vector<Point> vp;
for(int i = lo; i < hi; ++i){
if(abs(vx[i].x - mx) < d)
vp.push_back(vx[i]);
}
for(int i = 0; i < vp.size(); ++i){
for(int j = i + 1; j < vp.size(); ++j){
if(vp[j].y - vp[i].y >= d)
break;
else{
double dm = Distance(vp[i],vp[j]);
if(dm < d)
d = dm;
}
}
}
return d;
}
int main()
{
vector<Point> v;
ifstream file("point.txt",ifstream::in);
string line;
while(getline(file,line)){
Point p;
stringstream liness(line);
liness >> p.x >> p.y;
v.push_back(p);
}
sort(v.begin(),v.end(),Compx);
cout << Closest(v,0,v.size()) << endl;
return 0;
}箴言錄：
堂堂正正做人，踏踏實實做事。