分治法構造格雷碼

題目

        格雷碼是一個長度爲2^n的序列，序列中無相同元素，且每個元素都是長度爲n的二進制位串，相鄰元素恰好只有1位不同。例如長度爲2^3的格雷碼爲（000,001,011,010,110,111,101,100）。設計分治算法對任意的n值構造相應的格雷碼。

思路

        本算法純粹基於觀察得出，雖算法有分治的影子，卻沒發現有分治的含義。假設n=3，則十進制序列：

0,1,2,3,4,5,6,7  -> 0,1,2,3, | 6,7,4,5 -> 0,1, | 3,2, | 6,7, | 5,4  即每次把數列劃分爲左右等大小兩半，並把右半數組左右兩半交換，由此得到一個格雷碼的十進制序列，再轉換爲二進制字符串即可。

c++實現

/*
	程序：構造格雷碼
	作者：Moyu 
*/
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cmath>

using namespace std;

void Init(vector<int> &v, vector<string> &gc, int n)
{
	int m = pow(2,n);
	for(int i = 0; i < m; ++i){
		v.push_back(i);
		
		string s(n,'0');
		gc.push_back(s);
	}
}
void GrayCode(vector<int> &v, int lo, int hi)
{
	if(hi - lo == 2)
		return;
	else{
		int m = (lo + hi) / 2;
		vector<int> t(v.begin()+m,v.begin()+(m+hi)/2);
		copy(v.begin()+(m+hi)/2,v.begin()+hi,v.begin()+m);
		copy(t.begin(),t.end(),v.begin()+(m+hi)/2);
		GrayCode(v,lo,m);
		GrayCode(v,m,hi);
	}
}
void Conver(vector<int> &v, vector<string> &gc)
{
	int n = v.size();
	for(int i = 0; i < n; ++i)
	{
		int t = v[i];
		int j = gc[0].size()-1;
		while(t){
			gc[i][j] = t%2 + '0';
			t /= 2;
			--j;
		}
	}
}
int main()
{
	int n;
	cout << "n = ";
	cin >> n;
	
	vector<int> v;
	vector<string> gc;
	Init(v,gc,n);
	
	GrayCode(v,0,v.size());
	Conver(v,gc);
	
	for(auto i : v)
		cout << i << " ";
	cout << endl;
	for(auto s : gc)
		cout << s << endl;
	return 0;
}

箴言錄：

        天行健，君子以自強不息；地勢坤，君子以厚德載物。