float數據轉換

最近一段時間看到版上關於C++裏浮點變量精度的討論比較多，那麼我就給對這個問題有疑惑的人詳細的講解一下intel的處理器上是如何處理浮點數的。爲了能更方便的講解，我在這裏只以float型爲例，從存儲結構和算法上來講，double和float是一樣的，不一樣的地方僅僅是float是32位的，double是64位的，所以double能存儲更高的精度。還要說的一點是文章和程序一樣，兼容性是有一定範圍的，所以你想要完全讀懂本文，你最好對二進制、十進制、十六進制的轉換有比較深入的瞭解，瞭解數據在內存中的存儲結構，並且會使用VC.net編譯簡單的控制檯程序。OK，下面我們開始。   
    
大家都知道任何數據在內存中都是以二進制（1或着0）順序存儲的，每一個1或着0被稱爲1位，而在x86CPU上一個字節是8位。比如一個16位（2字節）的short   int型變量的值是1156，那麼它的二進制表達就是：00000100   10000100。由於Intel   CPU的架構是Little   Endian（請參數機算機原理相關知識），所以它是按字節倒序存儲的，那麼就因該是這樣：10000100   00000100，這就是定點數1156在內存中的結構。   
    
那麼浮點數是如何存儲的呢？目前已知的所有的C/C++編譯器都是按照IEEE（國際電子電器工程師協會）制定的IEEE   浮點數表示法來進行運算的。這種結構是一種科學表示法，用符號（正或負）、指數和尾數來表示，底數被確定爲2，也就是說是把一個浮點數表示爲尾數乘以2的指數次方再加上符號。下面來看一下具體的float的規格：   
    
float   
共計32位，摺合4字節   
由最高到最低位分別是第31、30、29、……、0位   
31位是符號位，1表示該數爲負，0反之。   
30-23位，一共8位是指數位。   
22-0位，一共23位是尾數位。   
每8位分爲一組，分成4組，分別是A組、B組、C組、D組。   
每一組是一個字節，在內存中逆序存儲，即：DCBA   
    
我們先不考慮逆序存儲的問題，因爲那樣會把讀者徹底搞暈，所以我先按照順序的來講，最後再把他們翻過來就行了。   
    
現在讓我們按照IEEE浮點數表示法，一步步的將float型浮點數12345.0f轉換爲十六進制代碼。在處理這種不帶小數的浮點數時，直接將整數部轉化爲二進制表示：1   11100010   01000000也可以這樣表示：11110001001000000.0然後將小數點向左移，一直移到離最高位只有1位，就是最高位的1：1.11100010010000000一共移動了16位，在布耳運算中小數點每向左移一位就等於在以2爲底的科學計算法表示中指數+1，所以原數就等於這樣：1.11100010010000000   *   (   2   ^   16   )好了，現在我們要的尾數和指數都出來了。顯而易見，最高位永遠是1，因爲你不可能把買了16個雞蛋說成是買了0016個雞蛋吧？（呵呵，可別拿你買的臭雞蛋甩我~），所以這個1我們還有必要保留他嗎？（衆：沒有！）好的，我們刪掉他。這樣尾數的二進制就變成了：11100010010000000最後在尾數的後面補0，一直到補夠23位：11100010010000000000000（MD，這些個0差點沒把我數的背過氣去~）   
    
再回來看指數，一共8位，可以表示範圍是0   -   255的無符號整數，也可以表示-128   -   127的有符號整數。但因爲指數是可以爲負的，所以爲了統一把十進制的整數化爲二進制時，都先加上127，在這裏，我們的16加上127後就變成了143，二進制表示爲：10001111   
12345.0f這個數是正的，所以符號位是0，那麼我們按照前面講的格式把它拼起來：   
0   10001111   11100010010000000000000   
01000111   11110001   00100000   00000000   
再轉化爲16進製爲：47   F1   20   00，最後把它翻過來，就成了：00   20   F1   47。   
現在你自己把54321.0f轉爲二進制表示，自己動手練一下！   
    
有了上面的基礎後，下面我再舉一個帶小數的例子來看一下爲什麼會出現精度問題。   
按照IEEE浮點數表示法，將float型浮點數123.456f轉換爲十六進制代碼。對於這種帶小數的就需要把整數部和小數部分開處理。整數部直接化二進制：100100011。小數部的處理比較麻煩一些，也不太好講，可能反着講效果好一點，比如有一個十進制純小數0.57826，那麼5是十分位，位階是1/10；7是百分位，位階是1/100；8是千分位，位階是1/1000……，這些位階分母的關係是10^1、10^2、10^3……，現假設每一位的序列是{S1、S2、S3、……、Sn}，在這裏就是5、7、8、2、6，而這個純小數就可以這樣表示：n   =   S1   *   (   1   /   (   10   ^   1   )   )   +   S2   *   (   1   /   (   10   ^   2   )   )   +   S3   *   (   1   /   (   10   ^   3   )   )   +   ……   +   Sn   *   (   1   /   (   10   ^   n   )   )。把這個公式推廣到b進制純小數中就是這樣：   
n   =   S1   *   (   1   /   (   b   ^   1   )   )   +   S2   *   (   1   /   (   b   ^   2   )   )   +   S3   *   (   1   /   (   b   ^   3   )   )   +   ……   +   Sn   *   (   1   /   (   b   ^   n   )   )   
    
天哪，可惡的數學，我怎麼快成了數學老師了！沒辦法，爲了廣大編程愛好者的切身利益，喝口水繼續！現在一個二進制純小數比如0.100101011就應該比較好理解了，這個數的位階序列就因該是1/(2^1)、1/(2^2)、1/(2^3)、1/(2^4)，即0.5、0.25、0.125、0.0625……。乘以S序列中的1或着0算出每一項再相加就可以得出原數了。現在你的基礎知識因該足夠了，再回過頭來看0.45這個十進制純小數，化爲該如何表示呢？現在你動手算一下，最好不要先看到答案，這樣對你理解有好處。   
    
      
    
      
    
      
    
      
    
      
    
      
    
    
我想你已經迫不及待的想要看答案了，因爲你發現這跟本算不出來！來看一下步驟：1   /   2   ^1位（爲了方便，下面僅用2的指數來表示位），0.456小於位階值0.5故爲0；2位，0.456大於位階值0.25，該位爲1，並將0.45減去0.25得0.206進下一位；3位，0.206大於位階值0.125，該位爲1，並將0.206減去0.125得0.081進下一位；4位，0.081大於0.0625，爲1，並將0.081減去0.0625得0.0185進下一位；5位0.0185小於0.03125，爲0……問題出來了，即使超過尾數的最大長度23位也除不盡！這就是著名的浮點數精度問題了。不過我在這裏不是要給大家講《數值計算》，用各種方法來提高計算精度，因爲那太龐雜了，恐怕我講上一年也理不清個頭緒啊。我在這裏就僅把浮點數表示法講清楚便達到目的了。   
    
OK，我們繼續。嗯，剛說哪了？哦對對，那個數還沒轉完呢，反正最後一直求也求不盡，加上前面的整數部算夠24位就行了：1111011.01110100101111001。某BC問：“不是23位嗎？”我：“倒，不是說過了要把第一個1去掉嗎？當然要加一位嘍！”現在開始向左移小數點，大家和我一起移，衆：“1、2、3……”好了，一共移了6位，6加上127得131（怎麼跟教小學生似的？呵呵~），二進制表示爲：10000101，符號位爲……再……不說了，越說越囉嗦，大家自己看吧：   
0     10000101     11101101110100101111001   
42     F6     E9     79   
79     E9     F6     42   
    
下面再來講如何將純小數轉化爲十六進制。對於純小數，比如0.0456，我們需要把他規格化，變爲1.xxxx   *   （2   ^   n   ）的型式，要求得純小數X對應的n可用下面的公式：   
n   =   int(   1   +   log   (2)X   );   
    
0.0456我們可以表示爲1.4592乘以以2爲底的-5次方的冪，即1.4592   *   (   2   ^   -5   )。轉化爲這樣形式後，再按照上面第二個例子裏的流程處理：   
1.   01110101100011100010001   
去掉第一個1   
01110101100011100010001   
-5   +   127   =   122   
0     01111010     01110101100011100010001   
最後：   
11   C7   3A   3D   
    
另外不得不提到的一點是0.0f對應的十六進制是00   00   00   00，記住就可以了。   
    
最後貼一個可以分析並輸出浮點數結構的函數源代碼，有興趣的自己看看吧：   
    
//   輸入4個字節的浮點數內存數據   
void   DecodeFloat(   BYTE   pByte[4]   )   
{   
    printf(   "原始（十進制）：%d     %d     %d     %d\n"   ,   (int)pByte[0],   
      (int)pByte[1],   (int)pByte[2],   (int)pByte[3]   );   
    printf(   "翻轉（十進制）：%d     %d     %d     %d\n"   ,   (int)pByte[3],   
      (int)pByte[2],   (int)pByte[1],   (int)pByte[0]   );   
    bitset<32>   bitAll(   *(ULONG*)pByte   );   
    string   strBinary   =   bitAll.to_string<char,   char_traits<char>,   allocator<char>   >();   
    strBinary.insert(   9,   "     "   );   
    strBinary.insert(   1,   "     "   );   
    cout   <<   "二進制："   <<   strBinary.c_str()   <<   endl;   
    cout   <<   "符號："   <<   (   bitAll[31]   ?   "-"   :   "+"   )   <<   endl;   
    bitset<32>   bitTemp;   
    bitTemp   =   bitAll;   
    bitTemp   <<=   1;   
    LONG   ulExponent   =   0;   
    for   (   int   i   =   0;   i   <   8;   i++   )   
    {   
      ulExponent   |=   (   bitTemp[   31   -   i   ]   <<   (   7   -   i   )   );   
    }   
    ulExponent   -=   127;   
    cout   <<   "指數（十進制）："   <<   ulExponent   <<   endl;   
    bitTemp   =   bitAll;   
    bitTemp   <<=   9;   
    float   fMantissa   =   1.0f;   
    for   (   int   i   =   0;   i   <   23;   i++   )   
    {   
      bool   b   =   bitTemp[   31   -   i   ];   
      fMantissa   +=   (   (float)bitTemp[   31   -   i   ]   /   (float)(   2   <<   i   )   );   
    }   
    cout   <<   "尾數（十進制）："     <<   fMantissa   <<   endl;   
    float   fPow;   
    if   (   ulExponent   >=   0   )   
    {   
      fPow   =   (float)(   2   <<   (   ulExponent   -   1   )   );   
    }   
    else   
    {   
      fPow   =   1.0f   /   (float)(   2   <<   (   -1   -   ulExponent   )   );   
    }   
    cout   <<   "運算結果："   <<   fMantissa   *   fPow   <<   endl;   
}   
    
累死了，我才發現這篇文章雖然短，然而確是最難寫的。上帝，我也不是機算機，然而爲什麼我滿眼都只有1和0？看來我也快成了黑客帝國裏的那個看通迅員了……希望大家能不辜負我的一翻辛苦，幫忙up吧！