fzu 2020 組合數對素數取模

題意：輸出C(n,m)%p的值，其中(1 <= m <= n <= 10^9, m <= 10^4, m < p < 10^9, p是素數)。

解題思路：C(n,m) = [n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)]/[1*2*3*...*m].

                  令    a =   [n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)];

                         b = [1*2*3*...*m];

                         x = C(n,m)%p;

               如果（a,p）=1,(b,p) = 1,

                則：(a/b)≡x(mod p);

                ==>a≡b*x(mod p);

               令 a` = a%p; b` = b%p;

              則：a`≡b`*x(mod p)

              ==>b`*x+k*p = a`   (p爲素數，gcd(b`,p)=1,方程一定有解)

              應用拓展歐幾里得解得x的最小正整數解即爲結果。

注意：在求解過程中，要確保（a,p）=1,(b,p) = 1,也就是說要將a,b包含的素數p全部除去，並分別統計C(n,m)中分子分母包含p的個數。若分子中的p個數大於分母，直接輸出0，相等則應用拓展歐幾里得。不會出現分子中p的個數小於分母中p的個數的情況。

 

代碼如下：

#include <stdio.h>

__int64 extgcd(__int64 a,__int64 b,__int64&x,__int64&y)
{
     __int64 d,t;
 if(b==0)
 {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
 }
    d = extgcd(b,a%b,x,y);
    t = x;
    x = y;
     y = t-a/b*y;
     return d;
}

__int64 mod(__int64 a,__int64 b,__int64 p,__int64& count)
{
    __int64 res = 1;
    __int64 i,t;

 for(i = a;i<=b;i++)
 {
   if(i%p==0)
   {
          t = i;
          while(t%p==0)
          {
               t/=p;
              count++;
          }
          res = (res*t)%p;
   }
  else
      res = (res*i)%p;
 }
      return res;
}

int main()
{
      int T;
    __int64 n,m,p;
    __int64 a,b,x,y;
    __int64 count1,count2;

 scanf("%d",&T);
 while(T--)
 {
      scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&p);
      count1 = count2 = 0;
        b = mod(1,m,p,count1);
       a = mod(n-m+1,n,p,count2);
       if(count2>count1)
           printf("0\n");
  else
  {
          extgcd(b,p,x,y);
          x*=a;
         x = x%p;
        if(x<0)
          x+=p;
        printf("%I64d\n",x);
  }
 }
 return 0;
}

這方面比較好的總結：http://www.earthson.net/