大素數測試的Miller-Rabin算法

Miller-Rabin算法本質上是一種概率算法，存在誤判的可能性，但是出錯的概率非常小。出錯的概率到底是多少，存在嚴格的理論推導。

費爾馬小定理

• 如果p 是質數且(a,p)=1 ，則有ap−1≡1(modp)。
  當然反過來不一定成立。即當ap−1%p=1 時，p 未必是質數。但是這個概率比較小。所以利用費爾馬小定理來檢測素數，不能保證時刻都對，只能保證出錯的概率比較小。
  給定正整數n，問n是否爲質數（顯然只需判斷正奇數），最基本的做法就是計算2n−1%n 是否爲1。如果不是1，n肯定爲合數；否則，n可能爲質數。

有限域上的平方根定理

• 如果p 是一個奇質數且e≥1 ，則方程
  
  x2≡1(modpe)
  
  僅有兩個根x=1 或者x=−1 ，注意到在模p 的意義下，x=−1 等價於x=p−1 ，±1 也稱爲1的平凡平方根
• 很容易有一個推論，如果對模n存在1的非平凡平方根，n一定是合數

Miller-Rabin算法

利用上面兩個定理，就可以構造出Miller-Rabin算法。考慮到n肯定是奇數(偶數的情況自己想去)，則n一定可以表示爲n−1=2s∗d ，其中s≥1 且d 是奇數。則

an−1=a2s∗d=(((ad)2)...)2

也就是說，an−1 相當於ad 平方若干次。例如當n=7 時，an−1 就是a6 ，就是a3 的平方。當n=13 時，an−1 就是a12 ，就是a3 的平方的平方。
以n=13 的情況進行說明（所有運算都是在模n的意義下，以下的文字說明省略了這一點），任取一個a,1<a<13 ，計算a3 ，再將其平方一次得到a6 ，注意到a3 是a6 的平方根（廢話），根據平方根定理的推論，如果a6=1且a3≠±1 ，則n 肯定是合數。將a6 平方一次得到a12 ，同樣，如果a12=1且a6≠±1 ，則n 肯定是合數。最後，根據費爾馬小定理，如果a12≠1 ，則n 肯定是合數。否則，n 有極大概率爲質數。
爲了增加得到正確判斷的概率，可以將a 重複取不同的值，對每一個a 驗證一次ad 到an−1 的過程。不過，考慮到ACM的特殊性，測試數據應該不會選擇僞素數特別是強僞素數。所以很多題目的AC程序實際上只來一次即可。

typedef long long llt;
//利用二進制計算a*b%mod
llt multiMod(llt a,llt b,llt mod){
    llt ret = 0LL;
    a %= mod;
    while( b ){
        if ( b & 1LL ) ret = ( ret + a ) % mod, --b;
        b >>= 1LL;
        a = ( a + a ) % mod;
    }
    return ret;
}

//計算a^b%mod
llt powerMod(llt a,llt b,llt mod){
    llt ret = 1LL;
    a %= mod;
    while( b ){
        if ( b & 1LL ) ret = multiMod(ret,a,mod),--b;
        b >>= 1LL;
        a = multiMod(a,a,mod);
    }
    return ret;
}

//Miller-Rabin測試,測試n是否爲素數
bool Miller_Rabin(llt n,int repeat){
    if ( 2LL == n || 3LL == n ) return true;
    if ( !( n & 1LL ) ) return false;

    //將n分解爲2^s*d
    llt d = n - 1LL;
    int s = 0;
    while( !( d & 1LL ) ) ++s, d>>=1LL;

    srand((unsigned)time(0));
    for(int i=0;i<repeat;++i){//重複repeat次
        llt a = rand() % ( n - 3 ) + 2;//取一個隨機數,[2,n-1)
        llt x = powerMod(a,d,n);
        llt y = 0LL;
        for(int j=0;j<s;++j){
            y = multiMod(x,x,n);
            if ( 1LL == y && 1LL != x && n-1LL != x ) return false;
            x = y;
        }
        if ( 1LL != y ) return false;
    }
    return true;
}