NOIP 2016 Day2 T1 組合數問題

題目大意

T組數據，每組給出n、m，問有多少個C（i，j）（0<=i<=n，0<=j<=min（i，m））是k的倍數。

T<=10000，n,m<=2000，k<=21
時間限制 1s
空間限制 512M

解題思路

首先，我們可以對最大的n、m求答案，其餘的T-1個詢問就可以順便求出來了。
那麼如何求有多少個C（i，j）（0<=i<=n，0<=j<=min（i，m））是k的倍數呢？

1、預處理pr[i]、sum[i]、c[i][j]分別表示k的第i個因子，k的第i個因子的個數，以及i！含有多少個pr[j]；
2、對於每個c（i，j），我們可以求出它含有的第x個因子的個數爲c[i][x]-c[j][x]-c[i-j][x]，如果這個數大於sum[x]，則c（i，j）可以被第x個因子除盡。然後如果k的所有因子都滿足上述條件，c（i，j）就是k的倍數了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 2006
#define maxt 10006
#define fr(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;

int T,i,j,k,nx,mx,tot,s,n[maxt],m[maxt];
int c[maxn][10],sum[maxn],pr[maxn],ans[maxn][maxn];
int calc(int n,int x)
{
    int i,s=0,t=x;
    while (x<=n)
    {
        s+=n/x;
        x*=t;
    }
    return s;
}
void pre(int n)
{
    int i,j,t=max(nx,mx),nn=n;
    fr(i,2,nn)
    {
        if (n%i==0)
        {
            pr[++tot]=i;
            while (n%i==0) ++sum[tot],n/=i;
        }
        if (n==1) break;
    }
    fr(i,1,tot)
        fr(j,1,t) c[j][i]=calc(j,pr[i]);
    return;
}
bool check(int n,int m)
{
    int i;
    fr(i,1,tot)
        if (c[n][i]-c[m][i]-c[n-m][i]<sum[i]) return 0;
    return 1;
}
int main()
{
    freopen("problem.in","r",stdin);
    freopen("problem.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&T,&k);
    fr(i,1,T)
    {
        scanf("%d%d",&n[i],&m[i]);
        nx=max(nx,n[i]),mx=max(mx,m[i]);
    }
    pre(k);
    fr(i,0,nx)
    {
        int g=min(i,mx);
        fr(j,0,g) if (check(i,j)) ans[i][j]++;
    }
    fr(i,1,nx)
        fr(j,1,mx) ans[i][j]+=ans[i-1][j]+ans[i][j-1]-ans[i-1][j-1];
    fr(i,1,T) 
        if (m[i]<n[i]) printf("%d\n",ans[n[i]][m[i]]);
        else printf("%d\n",ans[n[i]][n[i]]);
    return 0;
}