算法導論讀書筆記（23）最小生成樹

第六部分 圖算法

第23章 最小生成樹

一個無環子集T⊆E，既能夠將所有的結點連接起來，又具有最小的權重。由於T是無環的，並且連通所有的結點，因此，T必然是一棵樹。我們稱這樣的樹爲（圖G的）生成樹，因爲它是由圖G所生成的。我們稱求取該生成樹的問題爲最小生成樹問題。

1.最小生成樹的形成

在每遍循環之前，A是某棵最小生成樹的一個子集。在每一步，我們要做的事情是選擇一條邊（u，v），將其加入到集合A中，使得A不違反循環不變式，即A∪{（u，v）}也是某棵最小生成樹的子集。由於我們可以安全地將這種邊加入到集合A而不會破壞A的循環不變式，因此稱這樣的邊爲集合A的安全邊。

Generic-MST(G, w)
    A = ∅
    while A does not formed a spanning tree
        find and edge(u, v) that is safe for A
        A = A ∪ {(u,v)}
    return A

無向圖G=（V，E）的一個切割（S，V-S）是集合V的一個劃分。
如果一條邊（u，v）∈E的一個端點位於集合S，另一個端點位於集合V-S，則稱該條邊橫跨切割（S，V-S）。
如果集合A中不存在橫跨該切割的邊，則稱該切割尊重集合A。
在橫跨一個切割的所有邊中，權重最小的邊稱爲輕量級邊。

2.Kruskal算法和Prim算法

在Kruskal算法中，集合A是一個森林，其結點就是給定圖的結點。每次加入到集合A中的安全邊永遠是權重最小的連接兩個不同分量的邊。在Prim算法裏，集合A則是一棵樹。每次加入到A中的安全邊永遠是連接A和A之外某個結點的邊中權重最小的邊。

Kruskal算法

MST-Kruskal(G, w)
    A = ∅
    for each vertex v∈G.V
        Make-Set(v)
    sort the edges of G.E into nondecreasing order by weight w
    for each edge(u,v)∈G.E, taken in nondecreasing order by weight
        if Find-Set(v) != Find-Set(u)
            A = A ∪ {(u,v)}
            Union(u,v)
    return A

Kruskal算法的時間代價爲O(ElgV)

Prim算法

MST-Prim(G, w, r)
    for each u∈G.V
        u.key = ∞
        u.π = NIL
    r.key = 0
    Q = G.V
    while Q != ∅
        u = Extract-Min(Q)
        for each v∈G.Adj[u]
            if v∈Q and w(u,v) < v.key
                v.π = u
                v.key = w(u,v)

Prim算法的時間代價爲O(ElgV)。從漸近意義上來說，它與Kruskal算法的運行時間相同。
如果使用斐波那契堆來實現最小優先隊列Q，則Prim算法的運行時間將改進到O(E+VlgV)。