算法導論讀書筆記（19）斐波那契堆

第五部分 高級數據結構

第19章 斐波那契堆

兩種用途：
1. 支持一系列操作，這些操作構成了所謂的“可合併堆”；
2. 這些操作可以在常數攤還時間內完成，使得非常適合於需要頻繁調用這些操作的應用；

1. 斐波那契堆結構

一個斐波那契堆是一系統具有最小堆序的有根樹的集合。也就是說，每棵樹均遵循最小堆性質：每個結點的關鍵字大於或等於它的父結點的關鍵字。

每個結點x包含一個指向它父結點的指針x.p和一個指向它的某一個孩子的指針x.child。x的所有孩子被鏈接成一個環形的雙向鏈表，稱爲x的孩子鏈表。孩子鏈表中的每個孩子y均有指針y.left和y.right，分別指向y的左兄弟和右兄弟。如果y是僅有的一個孩子，則y.left ＝ y.right ＝y。

結點x的孩子鏈表中的孩子數目儲存在x.degree。布爾值屬性x.mark指示結點x自從上一次成爲另一個結點的孩子後，是否失去過孩子。

通過指針H.min來訪問一個給定的斐波那契堆H，該指針指向具有最小關鍵字的樹的根結點，我們把這個結點稱爲斐波那契堆的最小結點。

如果一個斐波那契堆H是空的，那個H.min爲NIL。

H.n表示H中當前的結點數目。

勢函數

t(H)表示H中根鏈表中樹的數目，m(H)表示H中已標記的結點數目。H的勢函數如想：
Φ(H) = t(H) + 2m(H)

2. 可合併堆操作

創建一個新的斐波那契堆

創建一個空的H，Make-Fib-Heap分配並返回一個Fib對象H，其中H.n = 0和H.min = NIL，H中不存在樹。
因爲 t(H) ＝0和m(H) ＝0，Φ(H) ＝ 0。因此，Make-Fib-Heap的攤還代價等於它的實際代價O(1)

插入一個結點

Fib-Heap-Insert(H, x)
    x.degree = 0
    x.p = NIL
    x.child = NIL
    x.mark = FALSE

    if H.min == NIL
        create a root list for H containing just x
        H.min = x
    else
        insert x into H's root list
        if x.key < H.min.key
            H.min = x
    H.n = H.n + 1

t(H’) = t(H’) + 1
m(H’) = m(H)
勢的增加量爲： ( t(H) + 1 + 2m(H)) - ( t(H) + 2m(H)) = 1
實際代價爲O(1)，因此攤還代價爲O(1) + 1 ＝ O(1)

尋找最小結點

最小結點可通過H.min得到。因此，可以在O(1)的實際代價內找到最小結點。H的勢沒有發生變化，因此該操作的攤還代價等於它的初階代價O(1)。

兩個斐波那契堆的合併

將H1和H2的根鏈表鏈接，然後確定新的最小結點。之後，銷燬H1和H2,表示H1和H2的對象將不再使用。

Fib-Heap-Union(H1, H2)
    H = Make-Fib-Heap()
    H.min = H1.min
    concatenate the root list of H2 with the root list of H

    if (H1.min == NIL) or (H2.min != NIL and H2.min.key < H1.min.key)
        H.min = H2.min
    H.n = H1.n + H2.n
    return H

勢函數變化爲：
Φ(H) - (Φ(H1)+Φ(H2)) = (t(H)+2m(H)) - ((t(H1)+2m(H1)) + (t(H2)+2m(H2))) = 0
攤還代價等於它的實際代價O(1)

抽取最小結點

Fib-Heap-Extract-Min(H)
    z = H.min
    if z != NIL
        for each child x of z
            add x to the root list of H
            x.p = NIL
        remove z from the root list of H

        if z == z.right
            H.min = NIL
        else
            H.min = z.right
            Consolidate(H)
        H.n = H.n - 1
    return z

Consolidate(H)
    let A[0..D(H.n)] be a new array
    for i = 0 to D(H.n)
        A[i] = NIL
    for each node w in the root list of H
        x = w
        d = x.degree
        while A[d] != NIL
            y = A[d]    // another node with the same degree as x
            if x.key > y.key
                exchange x with y
            Fib-Heap-Link(H, y, x)
            A[d] = NIL
            d = d + 1
        A[d] = x
    H.min = NIL
    for i = 0 to D(H.n)
        if A[i] != NIL
            if H.min == NIL
                create a root list for H containing just A[i]
                H.min = A[i]
            else
                insert A[i] into H's root list
                if A[i].key < H.min.key
                    H.min = A[i]

Fib-Heap-Link(H, y, x)
    remove y from the root list of H
    make y a child of x, incrementing x.degree
    y.mark = FALSE

攤還時間爲O(lgn)

3.關鍵字減值和刪除一個結點

Fib-Heap-Decrease-Key(H, x, k)
    if k > x.key
        error "new key is greater than current key"
    x.key = k
    y = x.p
    if y != NIL and x.key < y.key
        Cut(H, x, y)
        Cascading-Cut(H, y)
    if x.key < H.min.key
        H.min = x

Cut(H, x, y)
    remove x from the child list of y, decrementing y.degree
    add x to the root list of H
    x.p = NIL
    x.mark = FALSE

Cascading-Cut(H, y)
    z = y.p
    if z != NIL
        if y.mark = FALSE
            y.makr = TRUE
        else
            Cut(H, y, z)
            Cascading-Cut(H, z)

攤還時間爲O(1)

4. 刪除一個結點

Fib-Heap-Delete(H, x)
    Fib-Heap-Decrease-Key(H, x, -∞)
    Fib-Heap-Extract-Min(H)

攤還時間爲O(lgn)