解題報告：HDU_6134:Battlestation Operational (莫比烏斯反演)

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題意：

求

思路：

本來出題人想考的不是反演，但是用反演做意外的簡單。。

原式：

做反演：

令

易知：    （ D( x ) 爲 x 的因子個數 ）

那麼可在內預處理出 g() ，再在線性時間內得到g()的前綴和

每次查詢的複雜度，總複雜度

代碼：

#include<bits/stdc++.h>

const int N = 1e6+10;
const long long mod = 1e9+7;
using namespace std;

vector<int>pr;
int mu[N],D[N],F[N],fro[N];
bool Np[N];

void init(){
   for(int i=1;i<N;i++){
      for(int j=i;j<N;j+=i){
         D[j]++;
      }F[i] = F[i-1] + 1 + D[i-1] ;
      if(F[i]>=mod)F[i]-=mod;
      fro[i] = fro[i-1] + F[i];
      if(fro[i]>=mod)fro[i] -= mod;
   }
   mu[1] = 1;
   for(int i=2;i<N;i++){
      if(!Np[i]){
         mu[i] = -1;
         pr.emplace_back(i);
      }for(int j=0,k=pr[0]*i;k<N;k=pr[++j]*i){
         Np[k] = true;
         if(i%pr[j]==0){
            mu[k]=0;
            break;
         }mu[k] = -mu[i];
      }mu[i] += mu[i-1];
   }
}


inline long long work(int n){
   long long res = 0;
   for(int d=1,lastd;d<=n;d=lastd+1){
      lastd = n / (n/d);
      res = (res + 1LL * ( mu[lastd] - mu[d-1] ) * fro[n/d] ) % mod;
   }if(res<0)res+=mod;
   return res;
}

int main()
{
   init();
   int n;
   while(scanf("%d",&n)==1){
      printf("%I64d\n",work(n));
   }return 0;
}